Fonksiyonel Denklem Problemleri

[idensu]

Lokman hocam ben de senin gibi düşünerek yanıtladım. Ancak bir öğrenci soruyu farklı bir yoldan çözerek yine iki farklı değer bulmuş ancak biri 5/2  biri de -4/5 . Yaptığı tüm işlemlerde doğru bir hata yok. Buna göre de bulduğu f(1) değerlerinden biri bizim bulduğumuz, bir diğeri ise -17/8.  Tabiiki o işlemleri yaparken hiç f(1) bilgisini kullanmamış. Yaptığı işlemleri akşam eve gidince yazayım.

[ramcobox]

hocam şu soruda biraz kafam karıştı anlamış değilim de tam açıklarsanız sevinirim

fonksiyonel denklemler 1 - örnek soru 4 ü tam olarak anlamadım

örnek soru 5 in de çözümünde hata var soruda f(0) isteniyo ama f(1) bulunmuş .

[Lokman Gökçe]

İlginiz için teşekkürler, Örnek 5'in çözümünde son adımda bir hata yapmışım. son satırda f(1) = 1/2 yazılıp f(0) = -10/7 bulunur. (Daha başka gözünüze takılan hatalı yazımlar varsa bizleri uyarabilirsiniz).

Örnek 4'ün çözümü için öncelikle ilk üç örneği çözmek faydalı olacaktır. Birbirini götürmeli toplamlar (teleskopik toplam) oluşturulup küp toplamı ile ilgili olarak 1³+2³+...+n³ = n².(n+1)²/4 formülü kullanılarak sonuca gidilir.

[Lokman Gökçe]

gönderdiğim word belgesinde bazı yazım yanlışlarım vardı. Hepsini düzeltip belgeyi güncellerim inş Örnek 4 ün doğru cevabı şu şekilde olacak:

[osman211]

ediz hocanın  attığı soruyu düşünüyodum bu sekilde olabilirmi

f(x+y)=f(x+f(y)) sağlayan f fonksiyonlarıı bulun

f(0)=f(f(0))  yazabiliriz  f(0)=c seklinde bir sabit dir  ozamaman   f(c)=c olduğuna gore c=0 olur f(0)=0

simdi  y ile x i yerini değiştirince

f(x+f(y))=f(y+f(x))  yazabiliriz   

eğer  bu durumda     içleri eşit olmalıdır   x+f(y)=y+f(x)       f(x)-f(y)/(x-y)=1   simdi  x---y ye gore limit alırsak

f(x)=x+a olur   f(0)=0 için f(x)=x bulunur ?

[Lokman Gökçe]

Listenin başındaki (Alper Çay hocamın gönderdiği) probleme 17 yıl önce genç yaşlarımda çözüm yazmışım, ancak görünüşe göre o dönemde süreklilik şartına benzer bir tür limit alma işlemi uygulamışım. Şimdi baktığımda bunu doğru bir yöntem olarak görmüyorum. (Bunun yanında önemli olmayan küçük bir kusur problemin kaynağı, 2005 Singapur değil de 2002 Singapur olacak. Ayrıca problem 2005'te Crux dergisinde de basıldığı için yılı karışmış olabilir.) Neyse, aradan geçen zamana bakınca bir tık yaşlandığımı hissettim

Problem [2002 Singapur M.O.]: Aşağıda verilen şartları sağlayan tüm $f$ fonksiyonlarını bulunuz:

\[
f : \mathbb{Q} \to \mathbb{R}, \qquad
f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy \quad \text{ve} \quad f(1) = 2002.
\]


Çözüm: Fonksiyonel denklemin bir başka çözümü de $g$ fonksiyonu olsun. Yani $g(x + y) = g(x) + g(y) + 2xy$. Böylece, taraf tarafa çıkararak $f(x + y) - g(x + y) = f(x) - g(x) + f(y) - g(y) $ elde ederiz. $h = f - g$ fonksiyonunu tanımlarsak $$h(x + y) = h(x) + h(y)$$ Cauchy fonksiyonel denklemine ulaşırız. (Şurada bir video hazırladım). Tanım kümesi $\mathbb{Q}$ iken tüm çözümlerin $h(x) = cx$ biçiminde olduğunu biliyoruz. Ayrıca $g(x + y) = g(x) + g(y) + 2xy$ eşitliğini sağayan bir fonksiyon tahmin etmeye çalışırsak $g(x) = x^2$ için eşitliğin sağlandığını görebiliriz. Dolayısıyla $f(x) = g(x) + h(x)$ olup genel çözüm $f(x) = x^2 + cx$ olur. $f(1) = 2002$ koşuluna uygun olarak $c$ çözülürse $c=2001$ bulunur. Yani tek uygun çözüm $f(x) = x^2 + 2001x$ olur.