1
Aslında bunun üretici fonksiyonunu kolayca yazabiliriz.
$S$, pozitif tamsayılardan oluşan bir küme olsun. $n$ doğal sayısının parçalar $S$ kümesinden alınacak şekildeki parçalanışlarının sayısına $p_S(n)$ diyelim. Boş parçalanmayı da dahil ederek $p_S(0)=1$ olarak tanımlıyoruz. Örneğin, $S=\mathbb{P}$ asal sayılar kümesi ise sorudaki örnekteki gibi $p_S(7)=3$ ve $p_S(10)=5$ olacaktır. $p_S(n)$'in üretici fonksiyonu şu şekildedir, $$F_S(q):=\sum_{n\geq 0}p_S(n)q^n=\prod_{r\in S}(1-q^r)^{-1}.$$ Bunu da $(1-q^r)^{-1}=1+q^r+q^{r+r}+q^{r+r+r}+\cdots$ yazarak kolayca görebiliriz.
Dolayısıyla, sorudaki fonksiyonun üretici fonksiyonu da $$F(q):=F_{\mathbb{P}}(q)=\prod_{p\text{ bir asal}}(1-q^p)^{-1}=\frac{1}{(1-q^2)(1-q^3)(1-q^5)(1-q^7)\cdots}$$ şeklindedir. Ne yazık ki parçalanma fonksiyonları için, kapalı bir formül bulunmuyor ($S$'nin sonlu küme olduğu gibi özel durumlar hariç). Örneğin $S=\mathbb{Z}^+$ seçildiğinde bile $p:=p_{\mathbb{Z}^+}$'in kapalı formülü olmadığı gibi birçok özelliği de hâlâ bilinmemektedir. Hatta $p$'nin $3$ modunda sonsuz defa $0$ kalanı verip vermediği bile bilinmemektedir. Dolayısıyla, çok daha rastgele bir küme olan asal sayılar kümesi için $p_S$'nin kapalı bir formülü olması çok da beklenen bir şey değildir.
Tabii alt sınır bulabiliriz. Örneğin, $G(q):=\frac{1}{(1-q^2)(1-q^3)}$ olarak tanımlarsak da bu fonksiyonun katsayıları doğal olarak $F$'ninkinden fazla olamayacaktır. Bu yüzden $$p_{\mathbb{P}}(n)=[q^n]F(q)\geq [q^n]G(q)\geq \left\lfloor\frac{n}{6}\right\rfloor$$ olduğundan $n$'nin asalların toplamı olarak en az $\frac{n}{6}$ farklı şekilde yazılacağını söyleyebiliriz. $G$'ya daha çok terim ekleyerek daha iyi alt sınırlar elde edebiliriz.
2
Verilen sayı aslında $(5+2\sqrt{6})^{1500}$'dür. Bu sayı da her zaman $a+b\sqrt{6}$ formatında olacaktır. Eşleniği olan $(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{3000}=(5-2\sqrt{6})^{1500}$ de $a-b\sqrt{6}$ olacaktır. Dolayısıyla, $$2a=(5+2\sqrt{6})^{1500}+(5-2\sqrt{6})^{1500}$$ bir tamsayıdır. $$0<5-2\sqrt{6}<\frac{1}{2}$$ olduğu rasyonel kısım bir tarafa, köklü kısım bir tarafa atılıp, her tarafın karesi alınarak kolayca gösterilebilir. Dolayısıyla, $$(5-2\sqrt{6})^{1500}<\frac{1}{2^{1500}}$$ olacaktır. Bu sayının $0.000\dots$ diye başladığı (en azından ilk birkaç basamağının $0$ olduğu) kolayca görülebilir. Dolayısıyla, $(5+2\sqrt{6})^{1500}$'un virgülden sonraki ilk basamağı $9$ olmalıdır ki toplamları bir tamsayı olsun.
Şimdi ise virgülden önceki ilk basamağa odaklanalım. Dediğimiz gibi $(5+2\sqrt{6})^{1500}=\dots c,99\dots$ formatında bir sayıdır. Bu durumda $2a$'nın birler basamağı da $c+1$ olacaktır ($c=9$ ise $2a$'nın birler basamağı $0$ olacaktır.) Bu yüzden $2a$ sayısının birler basamağına odaklanmak yeterlidir.
Binom açılımından $$2a=(5+2\sqrt{6})^{1500}+(5-2\sqrt{6})^{1500}=2\sum_{k=0}^{750}\dbinom{1500}{2k}5^{1500-2k}\cdot 24^k$$ olacaktır ($2\sqrt{6}$'nın tek kuvvetleri birbirini götürüyor.) $k=750$ dışındaki terimlerde $2$ ve $5$ çarpanları olduğundan birler basamağına katkısı yoktur. $k=750$'de gelen sayı ise $2\cdot 24^{750}\equiv 2\pmod{10}$ olduğundan $2a$'nın birler basamağı $2$'dir. Dolayısıyla, $$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{3000}=(5+2\sqrt{6})^{1500}=\dots 1,99\dots$$ şeklinde olmalıdır ki aşırı küçük olan $(5-2\sqrt{6})^{1500}$ ile toplandığında birler basamağı $2$ olan bir tamsayı elde edilebilsin. Sonuç olarak $(\sqrt{2}+\sqrt{3})^{3000}$'un virgülden önceki ve sonraki ilk rakamlar sırasıyla $1$ ve $9$'dur.
3
$d$ asal değilse $d$'yi $d$'nin bir asal böleniyle değiştirebileceğimiz için $d$'yi asal kabul edebiliriz. $d=p$ olsun.
$a$ ve $b$'nin biri tek diğeri çift olursa $a^n+b^n+1$ her zaman çift olacağından $p=2$ seçilebilir. Bu yüzden bu durumun sağlanmadığını varsayalım, yani $a$ ve $b$ aynı anda tek veya aynı anda çift olsun. Bu durumda $p$ tek olacaktır.
$a^{p-1}$ ve $b^{p-1}$ sayıları, $0,0$; $1,0$ veya $1,1$ kalanları verebilir. Dolayısıyla, $$a^{p-1}+b^{p-1}+1\equiv 1,2,3\pmod{p}$$ olacaktır. Sonuç olarak da $p=2$ veya $p=3$ bulunur. $p$'yi tek kabul ettiğimizden $p=3$ olacaktır. $a^n+b^n+1$'in her zaman $3$ ile bölünmesini istiyoruz. Eğer $a,b$'den bir tanesi $3$'e bölünüyorsa $a+b+1\equiv 1,2\pmod{3}$ olacağından $3\nmid a,b$ olmalıdır. $$a+b+1\equiv 0\pmod{3}\implies a+b\equiv 2\pmod{3}$$ olduğundan $a\equiv b\equiv 1\pmod{3}$ olmalıdır. Gerçekten de bu durumda $a^n+b^n+1$ her zaman $3$ ile bölünür.
Sonuç olarak $a$ ve $b$ farklı paritedeyse veya $a\equiv b\equiv 1\pmod{3}$ ise böyle bir $d$ vardır. Diğer durumlarda, böyle bir $d$ yoktur.
4
Cevap: $\boxed{D}$
$|KB|=|BC|=|BS|$ olduğundan $KBS$ ve $KBC$ üçgenleri ikizkenar üçgendir. $s(\widehat{KBS})=150^\circ$ olduğundan $s(\widehat{BKS})=15^\circ$'dir. $s(\widehat{KBC})=45^\circ$ olduğundan $s(\widehat{CKB})=67.5^\circ$'dir. Dolayısıyla, $$s(\widehat{CKS})=s(\widehat{BKS})+s(\widehat{CKB})=82.5^\circ$$ bulunur.
5
« Son İleti Gönderen: idensu Ocak 06, 2026, 10:54:05 öö »
çözüm:
6
Problem [Metin Aydemir]: Hayali bir ülkenin haritası eşkenar bir üçgen şeklindedir ve bu eşkenar üçgenin tam merkezinde kralın sarayı bulunmaktadır. Kralın sarayı ile üçgenin köşeleri birleştirildiğinde oluşan üç üçgen, ülkenin üç şehrini oluşturur. Kral, ülkede çıkan yangınlara hızlı müdahale edilebilmesi için her şehre birer yangın istasyonu kurmak istemektedir. Ancak, bir şehrin sınırları içindeki bir noktaya başka bir şehrin istasyonunun daha yakın olmasının şehirler arası iletişim problemi çıkaracağını düşündüğünden, istasyonları şu koşulu sağlayacak şekilde yerleştirmek ister: Her şehrin içindeki herhangi bir noktaya kuş uçuşu (doğrusal) uzaklık bakımından en yakın istasyon, o şehrin istasyonu olsun (başka bir istasyona eşit uzaklıkta olması mümkündür). Kralın bu üç yangın istasyonunu kurabileceği yerler nerelerdir?
7
Cevap: $\boxed{B}$
$O$'dan $AB$'ye inilen dikme $H$ olsun. $|AL|=x$ ve $|LM|=y$ dersek, $|HB|=4$ olduğundan $|MK|=y$ ve $|KH|=x$ olacaktır. Dolayısıyla, $|MH|=x+y=2$ olacaktır. $|OH|=4$ olduğundan Pisagor teoreminden, $|OM|=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$ bulunur.
8
Cevap: $\boxed{B}$
$N$ tane bilye olsun. En fazla bilyeyi kullanmak adına sürekli ilerlemeye çalışalım. İlk $12$ bilyede $6$ kırmızı, $6$ beyaz olacak şekilde bir dizilim yapalım. Bu durumda $13.$ bilye, renk sayılarını korumak adına $1.$ bilye ile aynı olmalıdır. Benzer şekilde $n.$ bilye ile $(n+12).$ bilye aynı renk olmalıdır. Yani ilk $12$ bilye tüm $N$ bilyeyi belirler. Eğer $1.$ ve $2.$ bilye farklı renkteyse ilk $14$ bilyede $7$ kırmızı ve $7$ beyaz olacağından çelişki olacaktır. Benzer şekilde $n.$ ve $(n+1).$ bilyeler farklı renkte ise $(n+12).$ ve $(n+13).$ bilyeler de farklı renkte olacağından $n,n+1,\dots,n+13$ içerisinde $7$ beyaz, $7$ kırmızı olacaktır. Bu da çelişki olacağından ardışık iki bilye, eğer $(n+12).$ ve $(n+13).$ bilyeler varsa, aynı renkte olmalıdır. $N\geq 19$ olursa bu mümkün değildir çünkü ilk $7$ bilyenin aynı renk olması gerekir fakat ilk $12$ bilye arasında tam olarak $6$ beyaz ve $6$ kırmızı vardır. Bu yüzden $N\leq 18$ olmalıdır. $N=18$ için örnek durum da $$KKKKKKBBBBBBKKKKKK$$ şeklindedir.
9
Cevap: $\boxed{C}$
$|CD|=6k$, $|BL|=4k$, $|AK|=3k$ diyelim. $AB$ ve $CD$ doğrularının arasındaki uzaklık (yükseklik) $h$ olsun. $|KL|=y$ olsun. Bu durumda $$\frac{40}{12}=\frac{\operatorname{Alan}(ABCD)}{\operatorname{Alan}(BCD)}=\frac{\frac{(|AB|+|CD|)\cdot h}{2}}{\frac{|KL|\cdot h}{2}}=\frac{13k+y}{6k}\implies y=7k$$ bulunur. Buradan, $$\frac{\operatorname{Alan}(BCD)}{\operatorname{Alan}(KLC)}=\frac{\frac{6kh}{2}}{\frac{yh}{2}}=\frac{6}{7}\implies \operatorname{Alan}(KLC)=14$$ bulunur.
10
Daha anlaşılası ortaokul düzeyi bir çözüm rica edebilir miyiz.
Resmi çözüm de yukarıdaki çözümle neredeyse aynıdır. Daha kolay bir çözüm olduğunu sanmıyorum.
|
Son İletiler