Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2018 Soru 5

[Eray]

Bir $a_1,a_2,\ldots$ sonsuz pozitif tam sayı dizisi ile bir $N>1$ tam sayısı için$$\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_3}+\cdots+\dfrac{a_{n-1}}{a_n}+\dfrac{a_n}{a_1}$$ifadesi, her $n\ge N$ için bir tam sayıya eşit oluyor. Her $m\ge M$ için $a_m = a_{m+1}$ olacak şekilde bir $M$ pozitif tam sayısı bulunduğunu gösteriniz.

[nk6]

İfadeye $S_n$ diyelim. Her $n>N$ için $S_{n+1}-S_n\in\mathbb{Z}$ olacaktır. Bu da

$a_1\cdot a_{n+1}\mid a_{n+1}(a_{n+1}-a_n)-a_1\cdot a_n$ olmasına denktir.

Gözlem 1: $a_{n+1}\mid a_1\cdot a_n$ olduğundan dolayı $(a_n)_{n\geq N}$ dizisinin elemanlarından en az birini bölen asalların kümesi sonludur.

Gözlem 2: Bir $p\nmid a_1$ asal sayısı aldığımızda, $v_p(a_{n+1})\leq v_p(a_n)$ olur. Dolayısıyla bu asallar için $v_p(a_n)$ dizisi bir yerden sonra sabitlenmek zorundadır (sıfırın altına inemez, sonlu kez azalabilir).

İddia: Bir $q\mid a_1$ asalı alırsak, $v_q(a_n)$ dizisi bir yerden sonra sabitlenmek zorundadır.

İspat: Varsayalım ki bir $q$ asalı için bu dizi sabitlenmiyor olsun.

İspatlayacağız ki bir $K$ tam sayısı ve her $n>K$ için $v_q(a_n)\geq v_q(a_1)$ olur.

Öncelikle $v_q(a_k)\geq v_q(a_1)$ olan bir $k$ tam sayısının varlığını görelim. Eğer bu dizi azalmayansa ve sabitlenmiyorsa bir yerde $v_q(a_k)\geq v_q(a_1)$ olacaktır.

Eğer $v_q(a_{k-1})>v_q(a_k)$ olan bir $k$ varsa, $a_1\cdot a_k\mid a_k(a_k-a_{k-1})-a_1\cdot a_{k-1}$ olduğundan iki taraftaki $q$ asalının kuvvetlerini incelersek:

$v_q(a_k(a_k-a_{k-1}))=2v_q(a_k)$ olduğundan eğer $v_q(a_k)<v_q(a_1)$ ise

$2v_q(a_k)<v_q(a_1\cdot a_{k-1})$ olacağından $v_q(RHS)=2v_q(a_k)<v_q(a_1\cdot a_k)=v_q(LHS)$ olur, ama $LHS\mid RHS$, çelişki.

Gözlemleyelim ki aynı zamanda burada ispatlamış olduğumuz şekilde eğer dizi bir noktada azalıyorsa, o noktada $v_q(a_1)$ in altına inemez. Dolayısıyla her $n\geq k$ için $v_q(a_k)\geq v_q(a_1)$ olur, alt iddiayı ispatlamış olduk.

Son olarak $n>k$ için $v_q(a_n)$ dizisinin artmayan olduğunu gösterirsek sonlu kez azalabileceğinden bir yerde sabitlenir ve iddiayı ispatlamış oluruz.

Aksini varsayalım, $v_q(a_{v+1})>v_q(a_v)\geq v_q(a_1)$ olsun. Yine $a_1\cdot a_{v+1}\mid a_{v+1}(a_{v+1}-a_v)-a_1\cdot a_v$ ifadesinde iki taraftaki $q$ asalının kuvvetlerini incelersek:

$v_q(a_1\cdot a_v)<v_q(a_{v+1})+v_q(a_v)$ olduğundan $v_q(RHS)=v_q(a_1\cdot a_v)<v_q(a_1\cdot a_{v+1})=v_q(LHS)$, çelişki.

İspatladığımız iki gözlem ve iddiayı birleştirdiğimizde $(a_n)$ dizisinin de bir yerden sonra sabitlenmesi gerektiğini görürüz, q.e.d.