Tübitak Lise 1. Aşama 1993 Soru 36

[Lokman Gökçe]

Negatif olmayan $x,y$ tamsayıları için tanımlanan $F(x,y)$ fonksiyonunda

$i)$ Her $x,y$ için $F(x+1,y) + F(x,y+1) = F(x,y) + F(x+1,y+1)$
$ii)$ Her $x$ için $F(x,0)=x$
$iii)$ Her $y>0$ için $F(0,y)=1$

ise $F(1000,993)$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 1993 \qquad\textbf{b)}\ 1001 \qquad\textbf{c)}\ 999 \qquad\textbf{d)}\ 994 \qquad\textbf{e)}\ 7 $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

İlk şartta $y$ yerine $0$'dan $y-1$'ye kadar yazıp taraf tarafa toplarsak, $$F(x+1,0)+F(x,1)=F(x,0)+F(x+1,1)$$ $$F(x+1,1)+F(x,2)=F(x,1)+F(x+1,2)$$ $$.$$ $$.$$ $$.$$ $$F(x+1,y-1)+F(x,y)=F(x,y-1)+F(x+1,y)$$ $$\underline{+~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}$$ $$F(x+1,0)+F(x,y)=F(x,0)+F(x+1,y)$$ Burada ikinci şartı kullanırsak $$F(x+1,y)-F(x,y)=1$$ bulunur. Son bulduğumuz eşitlikte $x$ yerine $0$'dan $x-1$'e kadar yazıp toplarsak $$F(1,y)-F(0,y)=1$$ $$F(2,y)-F(1,y)=1$$ $$.$$ $$.$$ $$.$$ $$F(x,y)-F(x-1,y)=1$$ $$\underline{+~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}$$ $$F(x,y)=x+1$$ bulunur. Yani $y>0$ için $F(x,y)=x+1$ bulunur. $F(1000,993)=1001$ bulunur.

[geo]

Test tekniği ile  $F(x,y)=x+1$ fonksiyonunu tahmin etmek zor değil.
$(i)$ de verilen fonksiyonel eşitlikte $x$ ler $F$ nin ilk parametresinde, $y$ ler $F$ nin ikinci parametresinde kalmış. $F(x,y)=G(x)+H(y)$ şeklinde bir fonksiyon $(i)$ i sağlar.
$(ii)$ ve $(iii)$ ten $G(x)=x$ ve $H(y)=1$ in sağladığı görülür.