Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2009 Soru 2

[geo]

$O$, $ABC$ üçgeninin çevrel çemberinin merkezi; $P$ ve $Q$ da, sırasıyla, $[CA]$ ve $[AB]$ kenarları üstünde, köşelerden farklı iki nokta olsun. $K$, $L$ ve $M$ sırasıyla, $[BP]$, $[CQ]$ ve $[PQ]$ doğru parçalarının orta noktaları olmak üzere; $K$, $L$ ve $M$ sırasıyla, $[BP]$, $[CQ]$ ve $[PQ]$ doğru parçalarının orta noktaları olmak üzere; $K$, $L$ ve $M$ den geçen çembere $\Gamma$ diyelim. $PQ$ doğrusu $\Gamma$ çemberine teğet ise, $|OP|=|OQ|$ olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

$KL$; $AB$ yi $R$ de, $AC$ yi $S$ de kessin.
$\angle KLM = \angle QMK = \angle AQP$ ve $\angle MKL = \angle LMP = \angle APQ$ olduğu için $A.A$ dan $\triangle APQ \sim \triangle MKL$ dir.

$\dfrac{AP}{AQ} = \dfrac{KM}{ML} \Rightarrow AQ \cdot KM = AP \cdot ML \Rightarrow AQ \cdot BQ = AP \cdot CP$

$\Rightarrow OA^2 - OQ^2 = OA^2 - OP^2 \Rightarrow OQ = OP$. $\blacksquare$