Uluslararası Matematik Olimpiyatı 2011 Soru 3

[geo]

Gerçel sayılar kümesinden kendisine tanımlı bir $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ fonksiyonu, tüm $x,y$ gerçel sayıları için, $$f(x+y) \leq yf(x) + f\left(f(x)\right)$$ koşulunu sağlıyor. Her $x \leq 0$ için, $f(x) = 0$ olduğunu kanıtlayınız.

[MATSEVER 27]

$P(x,y)$ ifadesi $f$ de yerine koyduğumuz değerleri temsil etsin.

Lemma 1: $f(f(x)) \ge f(x)$

İspat: $P(x,0) \implies$ $$\boxed{f(f(x)) \ge f(x)}$$

Lemma 2: $f(x) \ge x \iff f(x) \ge 0$

İspat: $P(x,f(x)-x) \implies$ $$\boxed{(f(x)-x)f(x) \ge 0}$$

Lemma 3: $f(f(x)) \ge 0$

İspat: Lemma 1 ve 2 den açık bir şekilde elde edilir.

Lemma 4: $f(0) \ge 0$

İspat: $P(0,f(f(0))) \implies$ $$f(f(0))f(0) + f(f(0)) \ge f(f(f(0))) \ge f(f(0))$$ $$\implies f(f(0))f(0) \ge 0$$ $$\implies \boxed{f(0) \ge 0}$$

Lemma 5: $f(0) = 0$

İspat: $P(0,f(y)) \implies$ $$f(y)f(0) + f(f(0)) \ge f(f(y)) \ge 0$$ $f(0) \ge 0$ olduğunu kullanarak $P(0,y)$ yazarsak $$(yf(0)+f(f(0)))f(0) +f(f(0)) \ge f(y)f(0)+f(f(0)) \ge 0$$ Ancak bu $y \to - \infty$ olduğunda açıkça yanlıştır. O halde eşitlik olmalıdır. $$\boxed{f(0)=0}$$

Lemma 6: $f(x) \le 0$

İspat: $P(0,x) \implies $ $$ \boxed{f(x) \le 0}$$

Lemma 7: $f(f(x))=0$

İspat: 3 ve 6. lemmadan açıktır.


Ana İspat: Lemma 7 den $P(x,y)$ koyulursa $$f(x+y) \le yf(x)$$ elde edilir. $(x,-x)$ koyarsak $$0 \le -xf(x)$$ olur. $x \le 0 \implies f(x) \ge 0$ olur. Ancak lemma 6 dan $f(x)\le 0$ olur. Sonuç olarak;
$$x \le 0 \implies f(x)=0$$
elde edilir.