Tübitak Lise 1. Aşama 2008 Soru 22

[ERhan ERdoğan]

Kaç $a\geq b$ şartını sağlayan $(a,b)$ pozitif tam sayı ikilisi için $a^2+b^2$ ifadesi $a^3+b$ ve $a+b^3$ ifadelerini böler?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ \text{Sonsuz sayıda}
$

[Erdal1122]

$a^2+b^2$ ifadesinin $a^3+b$ ve $a+b^3$ ifadelerini böldüğünü kabul edelim.
 
$a^2+b^2$ ifadesi bu ifadeleri ayrı ayrı bölebildiği için toplamlarını ve farklarını da bölebilir.
$a^3+b^3+a+b$ ve $a^3-b^3+a-b$ ifadelerini çarpanlarına ayıralım.

$(a+b)(a^2-ab+b^2+1)$, $(a-b)(a^2+ab+b^2-1)$

Her iki ifadeyi $mod  a^2+b^2$'de incelediğimizde
$(a+b)(1-ab)$ ve $(a-b)(ab-1)$ elde ederiz.

$a^2+b^2$ hala bunları bölebilir. Yani bunların fark ve toplamlarını da bölebilir.
Toplayalım, $2b(1-ab)$ gelir. Bu ifadenin $a^2+b^2$'ye bölünebilmesi için $a$=$bk$ olmalıdır.

$b^2(k^2+1)|2b(1-kb^2)$ olmalıdır ki bölende $b^2$ varken bölümde $b$ vardır. Yani $b$=$1$ veya $b$=$2$ olabilir.

$a+b^3$ ve $a^3+b$ ifadelerinde $b$'yi iki değer için ayrı ayrı yazarsak $b$=$2$ için $a^2+4|-34$ ve $b$=$1$ için $a^2+1|-2$ gelir.

$b$=$2$ için çözüm yoktur ve $b$=$1$ için tek çözüm $a$=$1$'dir.

Yanıt: B

[Eray]

Toplayalım, $2b(1-ab)$ gelir. Bu ifadenin $a^2+b^2$'ye bölünebilmesi için $a$=$bk$ olmalıdır.

Neden?

[Erdal1122]

Toplayalım, $2b(1-ab)$ gelir. Bu ifadenin $a^2+b^2$'ye bölünebilmesi için $a$=$bk$ olmalıdır.

Neden?

Evet o olmamış sanki onun yerine
$(a,b)$_ebob=$m$
$a$=$xm$
$b$=$ym$ deyip toplamlarından $m$²($x$²+$y$²)|2$ym$($1$-$m$²$xy$)
farklarından  $m$²($x$²+$y$²)|2$xm$($m$²$xy$-$1$) yazalım.
$m$($x$²+$y$²)|2$y$($1$-$m$²$xy$), $m$($x$²+$y$²)|2$x$($m$²$xy$-$1$)'dir.
$m$; ($m$²$xy$-$1$), $x$, $y$ ile aralarında asal olduğundan $m$=$1$ veya $m$=$2$'dir.
$2$ olamaz çünkü ilk ifadelerde $a$ ve $b$'yi yazarsak $4$($x$²+$y$²) ifadesi $4$'e bölünürken $8x$³+$2y$ ve $2x$+$8y$³ ifadeleri $4$'e bölünemez.
O halde $m$=$1$'dir.
Aralarında asal olan $a$, $b$ sayıları için $a$²+$b$²|$2b(1-ab)$ ifadesi sadece $2b(1-ab)$=$0$ için sağlayacağından ($a$²+$b$², $b$ ile aralarında asal ve $a$²+$b$²>|$2$-$2ab$| olduğundan) $ab$=$1$'dir. Bunu sağlayan tek pozitif tam sayı ikilisi $a$=$1$ ve $b$=$1$'dir.

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

Cevap: $1$. Bir $p$ asal sayısı ve bir $s \geq 1$ tam sayısı için, $ \text{ebob}(a, b)$ nin $p^x$ şeklindeki en büyük çarpanı $p^s$ olsun. O zaman $a^3+b$ ve $a+b^3$ ifadelerinin en az birinde $p^x$ şeklindeki en büyük çarpan da $p^s$ olacaktır. $p^{2 s} \mid a^2+b^2$ olduğuna göre, bu $a^2+b^2$ nin $a^3+b$ ve $a+b^3$ ifadelerini bölmesi ile çelişir. Demek ki $a$ ve $b$ sayıları aralarında asaldır. $a^2+b^2$ sayısı $a\left(a^2+b^2\right)-\left(a^3+b\right)=b(a b-1)$ sayısını bölüyor. $b$ ve $a^2+b^2$ aralarında asal olduğuna göre, $a^2+b^2$ sayısı $a b-1$ sayısını bölüyor. $a b>1$ olursa, $a^2+b^2 \geq 2 a b>a b-1$. Demek ki tek seçenek $a=b=1$ olur.

Kaynak: Tübitak 16. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2008