Rusya 1991 Diofant Denklemi {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru: $ab-2cd=3$ ve $ac+bd=1$ denklemlerini sağlayan tüm $a$, $b$, $c$, $d$ tam sayılarını bulunuz.


Kaynak: All Soviet Union Math Olympiads 1991, soru 535.

[Lokman Gökçe]

Çözüm:

Denklemlerin karelerini alırsak

$a^2b^2 + 4c^2d^2 -4abcd = 9$ ve $ a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd = 1$ olur. $abcd$ çarpımını yok etmek için ikinci denklemi $2$ ile genişletip ilk denklemle toplayalım:

$$ a^2b^2 + 4c^2d^2 + 2a^2c^2 + 2b^2d^2 = 11$$

olup buradan $4c^2d^2 \leq 11$ olup $|cd|\leq 1$ elde edilir. $cd \in \{ -1, 0, 1\}$ değerleri incelenirse yalnızca $cd =0$ durumundan çözüm gelir.

$c=0$ için $ab=3$, $bd=1$ olup $(a,b,c,d)=(3,1,0,1), (-3,-1,0,-1)$ bulunur.

$d=0$ için $ab=3$, $ac=1$ olup $(a,b,c,d)=(1,3,1,0), (-1,-3,-1,0)$ bulunur.

Denklem sisteminin toplam $4$ tane $(a,b,c,d)$ tam sayı çözüm dörtlüsü vardır.