Young Eşitsizliği {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Young Eşitsizliği: $p,q>1$ olmak üzere $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ eşitliğini sağlayan her $p, q$ ve her $a,b>0$ sayısı için
$$ \dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q} \geq ab $$
eşitsizliğinin sağlandığını gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Young Eşitsizliği'nin Konvekslik Kavramı İle İspatı: Logaritma fonksiyonunun pozitif gerçel sayılar kümesinde konkav fonksiyon olduğunu biliyoruz. Yani grafik üzerinden iki farklı nokta alıp bir doğru parçasıyla birleştirdiğimizde, bu doğru parçası fonksiyon grafiğinin altında kalacaktır. $x,y>0$ ve $0\leq t \leq 1$ için
$$t\log x + (1-t)\log y \leq \log (tx + (1-t)y)$$ veya $$  \log  \left( x^t y^{1-t}\right) \leq \log (tx + (1-t)y) $$ olur. $ t=\dfrac{1}{p}$ denirse $1-t=\dfrac{1}{q}$ olur. $x=a^p$ ve $y=b^q$ değişken değiştirmesi yapılırsa son eşitsizlikten $$ab \leq \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q} $$ bulunur $\blacksquare$