Uluslararası Matematik Olimpiyatı 1959 Soru 5

[geo]

$AB$ doğru parçasının üzerinde bir $M$ hareketli noktası alınıyor. $AMCD$ ve $MBEF$ kareleri, $AB$ ye göre aynı tarafta yer alacak şekilde oluşturuluyor. Bu kareleri çevreleyen $P$ ve $Q$ merkezli çemberler, $M$ haricinde bir $N$ noktasında kesişiyor. $AF$ ile $BC$ doğrularının kesişimi $N'$ ise,

• $N$ ve $N'$ noktalarının çakıştığını gösteriniz.
• $MN$ doğrularının $M$ seçiminden bağımsız sabit bir $S$ noktasından geçtiğini gösteriniz.
• $M$, $A$ ve $B$ arasında değişirken, $PQ$ doğru parçalarının orta noktalarının geometrik yerini bulunuz.

[geo]

• $AM < MB$ olduğunu varsayalım.
  $\angle ANM = \angle MNC = \angle FNE = \angle MNB = \angle BNE = 45^\circ $ olduğu için $A$, $N$, $F$ doğrudaş; $B$, $C$, $N$ de doğrudaştır.
  
  
• $(a)$ dan, $NM$ nin $\angle ANB$ nin açıortayı olduğu sonucunu da elde ettik. $AB$ çaplı çember ile $NM$ doğrusu $S$ de kesişsin. $S$, $AB$ yayının orta noktasıdır. $AB$ sabit olduğu için $S$ de sabittir.
  
  
• $PQ$ nun orta noktası, $R$ olsun. $P$, $R$, $Q$ noktalarından $AB$ ye inilen dikmelerin ayakları, sırasıyla, $X$, $Y$, $Z$ olsun. $PX = AM/2$, $QZ=MB/2$ olduğu için, $PXZQ$ dik yamuğunda orta taban $RY=\dfrac{AM+MB}{4} = AB/4$ olacaktır. Bu da, $R$ noktalarının geometrik yerini $AB$ ye paralel bir doğru yapar.