Balkan Matematik Olimpiyatı 2012 Soru 2

[geo]

Tüm $x$, $y$ ve $z$ pozitif gerçel sayıları için, $$\sum_{\text{cyc}} (x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} \ge 4(xy + yz + zx),$$ olduğunu kanıtlayınız.
Yukarıdaki notasyonda sol taraftaki ifade $$(x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} + (y + z)\sqrt { (x + y)(x + z)} + (z + x)\sqrt {(y + z)(y + x)}$$ toplamını göstermektedir.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Cauchy-Schwarz uygulayalım.

$\Longrightarrow \sqrt {(z + x)(z + y)} \ge z+\sqrt{xy}$   Bunu bütün terimlere yapalım:

$\Longrightarrow (x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} + (y + z)\sqrt { (x + y)(x + z)} + (z + x)\sqrt {(y + z)(y + x)}  \ge (x+y)(z+\sqrt{xy})+(x+z)(y+\sqrt{xz})+(y+z)(x+\sqrt{yz})$        Son ifadeyi açalım:

$\Longrightarrow (x+y)(z+\sqrt{xy})+(x+z)(y+\sqrt{xz})+(y+z)(x+\sqrt{yz}) = 2xy+2xz+2yz+x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xz}+z\sqrt{xz}+y\sqrt{yz}+z\sqrt{yz}\ \ge \ 4(xy+yz+xz)$     olduğunu ispatlarsak soru biter.

$\Longrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+x\sqrt{xz}+z\sqrt{xz}+y\sqrt{yz}+z\sqrt{yz} \ge 2(xy+yz+xz)$    olduğunu göstermeliyiz.  İkişer ikişer A.G.O   yapalım.

$\Longrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy} \ge 2\sqrt{xy\sqrt{x^2y^2}}= 2xy$     Benzer şekilde ;

$\Longrightarrow x\sqrt{xz}+z\sqrt{xz} \ge 2\sqrt{xz\sqrt{x^2z^2}}= 2xz$

$\Longrightarrow y\sqrt{yz}+z\sqrt{yz} \ge 2\sqrt{yz\sqrt{y^2z^2}}= 2yz$

Bu son üç eşitsizlik taraf tarafa toplanırsa istenen ifadeyi elde ederiz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Genelleştirilmiş Balkan MO 2012 #2