$(a)$ şıkkının doğru olduğunu gösterelim.
Öncelikle görmemiz gereken şey, $n$ tek sayı iken düzgün bir çokgenin şartı sağlayacağıdır, çünkü her köşe ikilisinin oluşturduğu doğru parçasına baktığımızda bu doğru parçasının bir tarafında tek, bir tarafında çift sayıda köşe kalacaktır, tek sayıda köşe kalan tarafta öyle bir köşenin varlığını söyleyebiliriz ki iki köşemize de eşit uzaklıktadır.
Şimdi bir nokta ve bu nokta merkezli bir çember alalım. İddiamız şudur ki; bu çembere çemberi eşit $6$ yaya bölen sınırsız nokta $6$'lıları ekleyebiliriz, çünkü bu noktaların kendi içinde oluşturduğu ikililerin hepsine bu çemberin merkezi eşit uzaklıktadır, bu noktalar ile merkezin oluşturduğu ikililere ise buradaki gibi
eşkenar üçgenler oluştuğundan bu noktalardan diğer biri için hem merkeze hem de seçilen noktaya eşit uzaklık bulunacağını söyleyebiliriz(çünkü doğru parçasının orta dikmesi üzerinde)
Yani çemberin merkezi ve çember üzerinde $7$ nokta bulunan bir örnek verebilirsek tüm $6k+2$ ler için doğru olduğunu, çemberin merkezi ve çember üzerinde $3$ nokta bulunan bir örnek verebilirsek tüm $6k+4$ ler için doğru olduğunu, çember üzerinde $5$ nokta bulunan bir örnek verebilirsek ise tüm $6k$ ler için doğru olduğunu söyleyebiliriz.
Çember üzerinde $7$ noktaya örnek olarak bu şekli
verebiliriz(açılar $30$ derece) $6$ nokta ekleyebileceğimizde kullandığımız nedenin aynısından dolayı buradaki örnek sağlanır.
Çember üzerinde $5$ noktaya örnek olarak üstteki şekilden ardışık $2$ köşe çıkardığımızda değişen bir şeyin olmadığını görebiliriz.
Çember üzerinde $3$ noktaya örnek olarak bu şekli
verebiliriz, tüm doğru parçalarının uzunlukları eşit olacağından örneğin sağlandığı barizdir.
Dolayısıyla $(a)$ şıkkını ispatlamış olduk.
İddia: $(b)$ şıkkı sadece tek sayılarda sağlanır, ve tüm tek sayılarda sağlanır. (elbette $n>=3$)
Öncelikle tüm tek tam sayılarda sağlandığını gösterelim. Bunun için tek sayıda köşeli düzgün bir çokgende üç noktaya eşit uzaklıkta başka bir noktanın bulunamayacağını gösterelim. Çokgenimizin bir köşesini alalım. Çokgen bu köşeden geçen ve karşısındaki kenara dik olan doğruya göre simetrik olduğundan doğruya göre simetrik nokta ikilileri ile köşemiz arasındaki uzaklık eşittir, fakat üçgen eşitsizliğinden dolayı köşemizden diğer köşelere olan uzaklık eksene tekrar varana kadar arttığından dolayı bu uzaklıklardan herhangi ikisi eşit olamaz. Yani tüm tek sayıların sağladığını ispatlamış olduk.
Şimdi eğer şart sağlanıyorsa $n$ nin tek sayı olduğunu gösterelim. Aksini varsayalım, $2k$ noktası bulunan dengeli merkezciksiz bir kümemiz olsun. Görmemiz gereken şey bir $A$ noktasının eşit uzaklıkta olduğu nokta ikilileri $(a1,b1),(a2,b2),...(at,bt)$ olmak üzere bir noktanın bu ikililerde sadece bir kez geçebileceğidir, bu durumda her nokta en fazla $[|(2k-1)/2|]$ köşe ikilisine eşit uzaklıkta olabilir, yani toplamda en fazla $2k(k-1)=2k^2-2k$ köşe ikilisinin köşelerden ikisine eşit uzaklıkta olan bir noktası bulunabilir. Fakat toplam köşe ikililerinin sayısı $k(2k-1)=2k^2-k$ olduğundan açıkta kalan köşe ikilileri olacaktır, çelişki.
edit: Görünüşe bakılırsa $(a)$ şıkkında bu kadar kasmaya gerek yokmuş, çember üzerinde $AOB$ açısı $60$ derece olacak şekilde alınan $(A,B)$ nokta ikilileri için şart sağlanıyormuş, bu da demektir ki istediğimiz kadar nokta ikilisi ekleyebiliriz ve $4$ için örneğimiz olduğundan tüm çift sayılar için örneğimiz vardır.
