Tübitak Lise Takım Seçme 2013 Soru 6

[Lokman Gökçe]

$-2\leq x,y,z \leq 2$ ve $x^2+y^2+z^2+xyz = 4$ koşullarını sağlayan tüm $x,y,z$ gerçel sayıları için, $$\dfrac{z(xz+yz+y)}{xy+y^2+z^2+1} \leq K$$ olmasını sağlayan en küçük $K$ gerçel sayısını belirleyiniz.

(Fehmi Emre Kadan)

[MATSEVER 27]

Çözüm (Fehmi Emre Kadan):

$|x|$ ifadesi $2$ ye eşit olmasın. O halde ;

$$xy+y^2+z^2+1-z(xz+yz+y)=\left(x+y-\frac{x+z^2}{2} \right)^2+\frac{4-x^2}{4}.\left[1-\dfrac{z(xz+2y)}{4-x^2} \right]^2+\dfrac{(4-x^2-y^2-z^2-xyz)z^2}{4-x^2} \ge 0$$

olduğundan $K$ en az $1$ dir. Eşitlik $x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, y=z=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ iken sağlanır.

$|x|=2$ ise bu durumun incelenmesi kolaydır. Buradan çelişki çıkmaz.

Sonuç olarak $K=1$ sağlar.