Tübitak Genç Takım Seçme 2014 Soru 1

[MATSEVER 27]

Bir $ABC$ üçgeninin $A$ köşesinin dış açıortayı ile $[BC$ ışını $D$ noktasında kesişiyor. $E$ ve $F$ sırasıyla, $B$ ve $C$ köşelerinden $AD$ doğrusuna çizilen dikmelerin ayakları; $G$ de $D$ noktasından $AC$ doğrusuna çizilen dikmenin ayağı olsun. $m(\widehat{DGF}) + m(\widehat{DGE}) = 180^\circ$ olduğunu gösteriniz.

(Şahin Emrah)

[alpha]

$m(\widehat{CGF})=\alpha $ dersek $m(\widehat{DGE})=90-\alpha$ olduğunu gösterdiğimizde ispat biter.
$CDGF$ kirişler dörtgeni olduğundan $m(\widehat{CGF})=m(\widehat{FDC})=\alpha$ olur.
$BE$ ile $DG$'nin kesişim noktasına $T$ diyelim. $m(\widehat{BAD})=m(\widehat{DAG})=\beta $ dersek 
$AGTE$  kirişler dörtgeni olduğundan  $m(\widehat{DAG})=m(\widehat{BTD})=\beta$ olur.
$m(\widehat{BTD})=m(\widehat{BAD})$ olduğundan  $BATD$ kirişler dörtgenidir.
Buradan $m(\widehat{BDA})=m(\widehat{ATB})=\alpha$ olur. $AGTE$ de kirişler dörtgeni olduğundan
$m(\widehat{ATB})=m(\widehat{AGE})=\alpha$ , $m(\widehat{DGE})=90-\alpha$ olur ve ispat biter.