Tübitak Lise 1. Aşama 2014 Soru 31

[ERhan ERdoğan]

$a_{1}=1$ ve her $n \geq 1$ için, $$ (a_{n+1}-2a_{n})\cdot \left (a_{n+1} - \dfrac{1}{a_{n}+2} \right )=0$$ olmak üzere, $a_{k}=1$ ise, $k$ aşağıdakilerden hangisi olabilir?

$
\textbf{a)}\ 6
\qquad\textbf{b)}\ 8
\qquad\textbf{c)}\ 10
\qquad\textbf{d)}\ 12
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

Bir sonraki terim ya şu ankinin iki katı ya da iki fazlasının çarpaya göre tersi olmalı.

$1 \to 1/3 \to 2/3 \to 3/8 \to 6/8 \to 12/8 \to 3 \to 6 \to 1/8 \to 1/4 \to 1/2 \to 1$ dizisinden de görülebileceği için $k=12$ için $a_k = 1$ olabilir.

Bizi $k=12$ ye götüren yolu inceleyelim:

Öncelikle, dizinin terimleri pozitif olduğu için $a_n \geq \dfrac 12$ ise $a_{n-1} = \dfrac {a_{n}}2$ olmak zorunda olduğunu fark edelim.

$a_k = 1$ ise,

$a_{k-1} = \dfrac 12$, $a_{k-2} = \dfrac 14$,

$a_{k-3} = 2$, $a_{k-4} = 1$

ya da

$a_{k-3} =  \dfrac 18$, $a_{k-4} = \dfrac 1{16}$

ya da

$a_{k-3} =  \dfrac 18$, $a_{k-4} = 6$ olacaktır.

Bu durumda, ilk olarak $k-4=1 \Rightarrow a_5 = 1$ elde ediliyor.

Açıktır ki, $i\geq 0$ olmak üzere, her $a_{4i+5} = 1$ olabilir.

Diğer taraftan, $6$ dan sonra $r$ adımda ilk kez $1$ e ulaşılırsa, $k=r+5$ olabilecek.

$a_{k-4} = 6 \to 3 \to 3/2 \to 3/4 \to a_{k-8} = 3/8$ olmak zorunda.
$a_{k-9} =  2/3$, $a_{k-10} = 1/3$, $a_{k-11} = 1$  ve $k=12$.