MD 116.Sayı A.571

[alpercay]

$$3x^2-y^2=2018^n$$ denkleminin tam sayı çözümleri bulunmasını sağlayan tüm $n$ pozitif tam sayılarını bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

Denklemi $3$ modunda incelersek $n$'nin tek olması gerektiği görülebilir. $(x,y)=(2018a,2018b)$ yazarsak, denklem $3a^2-b^2=2018^{n-2}$ olduğundan eğer $3x^2-y^2=2018$ denkleminin çözümü varsa tüm tek $n$ pozitif tamsayılar için çözüm vardır. Ayrıca genelliği bozmadan $x,y\geq 0$ kabul edebiliriz. $$3x^2=y^2+2018\implies x^2\geq \frac{2018}{3}\implies x\geq 26.$$ $x=26$ için denersek, $y$ tamsayı çıkmaz.

$x=27$ için denersek $y=13$ çözümü bulunur. Dolayısıyla, ancak ve ancak $n$ tek bir pozitif tamsayı olduğunda çözüm vardır. Bu çözümler, $n=2k+1$ için $(x,y)=(27\cdot 2018^k,13\cdot 2018^k)$ şeklindedir (Tüm çözümler bunlar olmak zorunda değildir).

[alpercay]

$n$ çift olsun ve en az bir çözüm bulunsun. Bu durumda $$3x^2-y^2\equiv 2018^n\mod 3$$   $$-y^2\equiv 2^n\equiv 1\mod 3$$ $$y^2\equiv 2\mod 3$$ olmalıdır ancak bu mümkün olmadığından  $n$ tek sayı olmalı.



$n=1$ için  $3a^2-b^2=2018$  eşitliğini sağlayan tamsayılar($a=27,b=13$) mevcut. $n=2k+1$ için

$3x^2-y^2=2018^n=2018\cdot 2018^{2k}= (3a^2-b^2)\cdot 2018^{2k}=3\cdot (a\cdot 2018^k)^2 - (b\cdot 2018^k)^2$ olduğundan $x=27\cdot 2018^k$,  $y=13\cdot 2018^k$ şeklinde çözümler olduğu görülür. Wofram alpha ile aşağıdaki çözümler de bulunuyor.



\begin{align*}

x_n &= \pm \dfrac{1}{6} \left(-81 (2 - \sqrt{3})^n + 13 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})^n - 81 (2 + \sqrt{3})^n - 13 \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})^n\right)\\

y_n &= \pm \dfrac{1}{2} \left(-13 (2 - \sqrt{3})^n + 27 \sqrt{3} (2 - \sqrt{3})^n - 13 (2 + \sqrt{3})^n - 27 \sqrt{3} (2 + \sqrt{3})^n\right)\\

x_0&=27\\

y_0&=13

\end{align*}