Tübitak Ortaokul 1.Aşama 2015 Soru 10

[ERhan ERdoğan]

$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, $2014n^2+2018n+2015$ sayısının birler basamağındaki rakamın alabileceği kaç farklı değer vardır ?

$
\textbf{a)}\ 3
\qquad\textbf{b)}\ 4
\qquad\textbf{c)}\ 5
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 7
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt : $\boxed{A}$

$2014n^2+2018n+2015 \equiv 4n^2+8n+5 \equiv (2n+2)^2+1 \pmod{10}$  olur. Çift tam kare sayıların $10$ modunda kalanlarını inceleyelim. $ x = 0,2,4,6,8 \Rightarrow  x^2 \equiv 0,4,6,6,4 \pmod{10} $ olduğunu görüyoruz. Buna göre $(2n+2)^2+1 \equiv 1,5,7 \pmod{10}$ olup üç değer alabilir.