Tübitak Lise 1. Aşama 2005 Soru 24

[geo]

$20$ kişilik bir toplulukta, $10$ kişi İngilizce, $10$ kişi Almanca, $10$ kişi de Fransızca biliyor. Bu topluluğun üç kişilik bir altkümesinde İngilizce bilen en az bir kişi, Almanca bilen en az bir kişi ve Fransızca bilen en az bir kişi varsa, bu altkümeye bir komite diyoruz. Bu toplulukta en çok kaç farklı komite olabilir?

$
\textbf{a)}\ 120
\qquad\textbf{b)}\ 380
\qquad\textbf{c)}\ 570
\qquad\textbf{d)}\ 1020
\qquad\textbf{e)}\ 1140
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$


$20$ kişinin içinden İngilizce bilen $10$ kişiyi ayırırsak kalan $10$ kişi içinde hiç İngilizce bilen kalmadığı için bunlar arasından seçilen üçer kişilik gruplar komite oluşturamaz. Tüm $3$ kişilik grupların sayısı $\dbinom{20}{3}$ olduğundan en fazla $\dbinom{20}{3} - \dbinom{10}{3}=1140 -120 = 1020$ farklı komite oluşabilir.

Şimdi komite sayısının $1020$ olduğu bir örnek bulalım: İngilizce, Almanca, Fransızca bilenler aynı $10$ kişi olsun. Diğer $10$ kişi bu üç dili de bilmiyorsa, komite oluşması için dil bilenlerin kümesinden en az $1$ kişi seçilmelidir. Bu ise $\dbinom{20}{3} - \dbinom{10}{3}=1020$ dir.