Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 29

[Lokman Gökçe]

$|AB|=1,|BC|=\sqrt3 $ ve $|CA|=\sqrt2$ olan bir $ABC$ üçgeninin $[BC]$ kenarına ait bir $D$ noktası için, $AD$ doğrusu $B$ köşesine ait kenarortayı $P$ noktasında kesiyor ve $|PD|/|PA|=\sqrt2-1$ ise, $s(\widehat{DAC})$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 15^\circ
\qquad\textbf{b)}\ 30^\circ
\qquad\textbf{c)}\ 45^\circ
\qquad\textbf{d)}\ 60^\circ
\qquad\textbf{e)}\ 75^\circ
$

[ERhan ERdoğan]

Yanıt: $\boxed{C}$

Kenarortayın $[AC]$ yi kestiği nokta $E$ olsun. $A$ köşesinden $BC$ ye paralel çizilen doğru ile $BE$ doğrusunun kesişim noktasına da $K$ diyelim.
$$\dfrac{|BD|}{|AK|}=\dfrac{|PD|}{|PA|} \tag{1}$$ $$\dfrac{|AK|}{|BC|}=\dfrac{|AE|}{|EC|} \tag{2}$$
$(1)$ ve $(2)$ den $\dfrac{|DC|}{|BD|}=\sqrt{2}$ dir.

$ABC$ üçgeninde $\dfrac{|AC|}{|AB|}=\dfrac{|DC|}{|BD|}$ olduğundan $AD$ açıortaydır ve $|BC|^2=|AC|^2+|AB|^2$ sağlandığından $\angle{BAC}=90^\circ$ olup $\angle{DAC}=45^\circ$ dir.