Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2014 Soru 23

[Lokman Gökçe]

$x^2+2xy=4x+3y^2$ eşitliğini sağlayan kaç $(x,y)$ tam sayı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 8
$

[Eray]

Yanıt: $\boxed{C}$

$x^2+2xy-4x=3y^2$ ifadesinde her iki tarafa $(y-2)^2$ eklenirse, $x^2+2(y-2)x+(y-2)^2=4y^2-4y+4$ yani $(x+y-2)^2=4(y^2-y+1)$ elde edilir. Bu eşitliğin tamsayılarda sağlanması için $y^2-y+1$ ifadesi tamkare olmalıdır.
Öte yandan, $y>1$ için $(y-1)^2<y^2-y+1<y^2$ dir ve iki ardışık tamkare arasında başka bir tamkare olamayacağından $y^2-y+1$ ifadesi tamkare olamaz.
$y<0$ için ise $y^2<y^2-y+1<(y-1)^2$ dir ve yine iki ardışık tamkare arasında başka bir tamkare olamayacağından $y^2-y+1$ ifadesi tamkare olamaz.
O halde verilen eşitliği sağlayabilecek $y$ sayıları $0$ veya $1$ olabilir.
$y=0 \Rightarrow x^2=4x \Rightarrow x(x-4)=0 \Rightarrow x=0, x=4$,
$y=1 \Rightarrow x^2-2x-3=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3, x=-1$
Toplamda $(0,0), (4,0), (3,1), (-1,1)$ olmak üzere $4$ adet $(x,y)$ tamsayı ikilisi vardır.