İzometri Transformasyon {çözüldü}

[MATSEVER 27]

$|AC|= |BC|$ olan bir $ABC$ üçgeninin içinde $\angle{{PAB}}= \angle{{PBC}}$ olacak şekilde bir $P$ noktası alınıyor. $M$ noktası $[AB]$ kenarının orta noktası ise $\angle{{APM}}+\angle{{BPC}}=180$ olduğunu gösteriniz.

[FEYZULLAH UÇAR]

$ÇÖZÜM:[F.UÇAR]$
$APB$ üçgenini $[AC]$ kenarına yapıştıralım.Buradan $ABC$ üçgeni ile $APP'$ üçgeni benzer olur.

$\angle{{BPM}}=\angle{{P'QE}}$ ve $\angle{{APC}}=\angle{{AQP}}$ olur.

$\angle{{QPE}}=\angle{{QP'A}}$ olacak şekilde $[AC]$ üzerinden $Q$ noktası alalım.

Açılar yerleştirilirse $PCP'Q$ kirişler dörtgeni olur.

$BPC$ üçgeni ile $PQP'$ üçgeni benzer olduğundan $\dfrac{|BP|}{|QP'|}=\dfrac{|PC|}{|BP}=\dfrac{|BC|}{|PP'|}$ olur.

$PCP'Q$ kirişler dörtgeni olduğundan Ptolemy teoreminden $m.nk+mk.n=2.|QC|$ ise $|QC|=mnk$ olur.

Ayrıca $\angle{{P'CQ}}=\angle{{QPE}}$ ve $\dfrac{|P'C|}{|PE|}=\dfrac{|QC|}{|QP|}$ olduğundan $QCP'$üçgeni ile
$QPE$ üçgeni benzerdir. ($K.A.K$) .O halde $\angle{{PQC}}=\angle{{P'QE}}$ olur.
Böylece $\angle{{EQP'}}+\angle{{AQP}}=180$ olur.