Tübitak Lise Takım Seçme 1997 Soru 4

[Lokman Gökçe]

Köşeleri birim çember üzerinde bulunan bir $ABCDE$ dışbükey beşgeninin $[AE]$ kenarı bu çemberin merkezinden geçmektedir. $\vert AB\vert =a$, $\vert BC\vert =b$, $\vert CD\vert =c$, $\vert DE\vert =d$ ve $ab=cd=\dfrac{1}{4}$ ise, $\vert AC\vert+\vert CE\vert$ toplamının $a,b,c,d$ türünden değeri ne olur?

[geo]

$AC=x$ ve $CE=y$ olsun. Bu durumda, $BE^2 = 4-a^2$, $AD^2 = 4 - d^2$ ve $x^2 + y^2 = 4$ olacaktır.
$ABCE$ de Ptolemy'den $$(ay+2b)^2 = x^2(4-a^2)$$ $$a^2y^2 + 4b^2 + 4aby = 4x^2 - a^2x^2$$
$ACDE$ de Ptolemy'den $$(2c+dx)^2 = y^2(4-d^2)$$ $$d^2x^2 + 4c^2 + 4cdx = 4y^2 - d^2y^2$$
Taraf tarafa topladığımızda,
$$4b^2 + 4c^2 + a^2y^2 + a^2x^2 + d^2x^2 + d^2y^2 + 4aby + 4cdx = 4x^2 + 4y^2$$
$x^2 + y^2 = 4$, $ab=cd=1/4$ değerlerini yerine yazarsak
$$4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4d^2 + x + y = 16$$ $$x+y = 16 - 4a^2 - 4b^2 - 4c^2 - 4d^2 = 4(4-a^2-b^2-c^2-d^2)$$ elde ederiz.

Not:
$|AC|+|CE|$ toplamı birden farklı şekilde $a,b,c,d$ cinsinden yazılabilir. Bunlardan bazıları birkaç işlemden sonra elde edilebiliyor; ama çok güzel durmuyor. Büyük ihtimalle, cevap olarak beklenen yukarıda bulunan ifade. Sorunun "... olduğunu gösteriniz."  şeklinde bir kalıpla sorulması daha doğru olurmuş.