Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 36

[geo]

$a$ ve $b$ pozitif gerçel sayılar ve $ab(a-b) = 1$ ise, $a^2 +b^2$ aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 2\sqrt 2
\qquad\textbf{d)}\ \sqrt{11}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$a^2+b^2 = (a-b)^2 + 2ab = \dfrac 1{a^2b^2} + 2ab$ dir. $AO\geq GO$ dan $$\dfrac{\frac 1{a^2b^2} + ab + ab}{3} \geq \sqrt[3]{\dfrac 1{a^2b^2}\cdot ab \cdot ab} = 1 \Rightarrow a^2+b^2 \geq 3$$ elde edilir.