Tübitak Ortaokul 1. Aşama 1996 Soru 18

[matematikolimpiyati]

$1$ den $n$ ye kadar olan sayıların küplerinin toplamı için$,\ 1^3+2^3+3^3+ \dots +n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}$ bağıntısı doğrudur. $1$ den $101$ e kadar olan tek sayıların küplerinin toplamı$,$ yani $1^3+3^3+5^3+ \cdots 101^3$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 5201 \cdot 10201  \qquad\textbf{b)}\ 2601 \cdot 10201  \qquad\textbf{c)}\ 2601 \cdot 5201  \qquad\textbf{d)}\ 2601^2  \qquad\textbf{e)}\ 2500 \cdot 2601$

[matematikolimpiyati]

Yanıt: $\boxed{C}$

\begin{align}
1^3+3^3+5^3+ \cdots +101^3 & = (1^3+2^3+3^3+ \cdots +100^3+101^3) - (2^3+4^3+ \cdots +98^3+100^3) \\
& = \dfrac{101^2 \cdot 102^2}{2^2}-2^3(1^3+2^3+ \cdots +50^3)\\
& = \dfrac{101^2 \cdot 102^2}{2^2}-8 \cdot \dfrac{50^2 \cdot 51^2}{2^2}\\
& = 101^2 \cdot 51^2 - 2 \cdot 50^2 \cdot 51^2\\
& = 51^2(101^2-2 \cdot 50^2)\\
& = 2601 \cdot 5201
\end{align}