$x^3-4x+1=0$ denkleminin en az bir gerçel kökü vardır {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

$x^3-4x+1=0$ denkleminin en az bir gerçel kökü olduğunu gösteriniz.


Not: Soru daha önce matkafası sitesinde sorulmuştu. Burada verdiğim çözümleri ekleyeceğim.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 1: Cardano formüllerinden ilham alarak $x^3-4x+1=0$ denkleminin $x=\sqrt[3]{h+\sqrt{k}} + \sqrt[3]{h-\sqrt{k}} $ formunda çözümlerini arayalım. Burada $h,k$ birer gerçel sayıdır.


$x^3 = h+\sqrt{k} + h-\sqrt{k} + 3\left( \sqrt[3]{h+\sqrt{k}} + \sqrt[3]{h-\sqrt{k}} \right)\left( \sqrt[3]{h+\sqrt{k}} \cdot \sqrt[3]{h-\sqrt{k}} \right)$

olup

$$ x^3 - 3\sqrt[3]{h^2-k}x -2h = 0 $$


elde edilir. Bu genel form ile $x^3-4x +1 = 0$ denkleminin karşılıklı olarak katsayıları eşitlenirse $h=-\dfrac{1}{2}$ ve $k=-\dfrac{229}{108}$ elde edilir. Belki $k=-\dfrac{687}{216}$ yazmak daha elverişli olabilir. $i$ sanal birim olmak üzere

$$x= \sqrt[3]{-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{687}}{6\sqrt6}} + \sqrt[3]{-\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{687}}{6\sqrt6}} $$

kökü elde edilir. Her ne kadar küpkök sembolü içindeki ifadeler karmaşık sayı olsalar da biri küpkök dışına $m+ni$ biçiminde, diğeri de $m-ni$ biçiminde eşlenik olarak çıkarılabilir. Böylece toplamları olan $x = 2m$ bir gerçel sayı olur.


Çözüm 2: $g(x)=x^3-4x$ fonksiyonunun grafiğini çizelim. $g(x)=0$ denkleminin kökleri $0,\pm 2 $ olup $3$ tanedir. Ekstremumları vs hesaplayınız. Daha sonra bu grafiği y ekseninin pozitif yönünde $1$ birim öteleyelim ve $f(x)=g(x)+1$ fonksiyonunun grafiğini çizelim. $f(x)=0$ denkleminin de üç gerçel kökü olduğunu görürürüz.

Çözüm 3: Gerçel katsayılı bir polinomun bir kökü $m+ni$ ($m,n \in \mathbb R$) karmaşık sayısı ise diğer kökü de $m-ni$ eşleniğidir. Dolayısıyla 3. dereceden (daha genel olarak tek dereceli) gerçel katsayılı bir polinomun, tüm kökleri gerçel sayı olmayan karmaşık sayılardan oluşamaz. Öyle olsaydı denklem çift sayıda köke sahip olurdu. Halbuki bu polinom denklem, cebirin temel teoremine göre tam üç tane (genel halde tam polinomun derecesi kadar) köke sahiptir, çelişki! Demek ki en az bir kökü gerçel olmak zorundadır.


Çözüm 4: $f(x)=x^3-4x+1$ dersek sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi gereğince

$f(-3)=-14$, $f(0)=1$ ve $f(-3)f(0)<0$ olduğundan $-3<x<0$ aralığında bir kök vardır.

$f(1)=-2$ ve $f(0)f(1)<0$ olduğundan $0<x<1$ aralığında bir kök daha vardır.

$f(2)=1$ ve $f(1)f(2)<0$ olduğundan $1<x<2$ aralığında bir başka kök daha vardır.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Çözüm 5:Descartes İşaret Değişimi Kuralı'na göre:

     Bir polinomun pozitif reel kök sayısı, katsayılarının işaret değişim sayısına ya da onun iki katı eksiğine eşittir. Yani işaret tekse o ve ondan önceki tek doğal sayılar, çiftse ondan önceki doğal sayılar polinomun pozitif reel kök sayısı olabilir.İşaretler sırayla yazılır ve $0$ katsayıları dahil edilmez.

Polinomun negatif reel köklerinin sayısı ise $x =>-x$ dönüşümü yapıldıktan sonra $P(-x)$ polinomunun işaret değişim sayısı ya da 2 katı eksiğine eşittir. Burada da $0$ katsayılar atlanır.


(1)     $x^3-4x+1$ ' de Descartes İşaret Kuralı'nın negatif kısmını uygulayalım:

  $-,0,+,+$ sıfırları atarsak=> $-,+,+$

Buradan $x^3-4x+1$ polinomunun sadece $1$ tane negatif reel köke sahip olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Çünkü 1'den küçük tek doğal sayı yoktur.


(1)   Pozitif Reel Kökler için olan kısmını uygulayalım:

$+,0,-,+$ sıfırları atalım => $+,-,+$

Buradan $x^3-4x+1$ polinomunun pozitif reel kök sayısının 2 ya da 0 olabileceğini öğreniyoruz. Ama hangisi, buradan bilemiyoruz.

(3)   $x=0$ için bakalım:

Polinomun sabit kökü sıfır olmadığından $0$ bir kök olamaz.

Sonuç olarak, $x^3-4x+1$ polinomunun en az bir reel kökü vardır ve reel köklerinden biri negatif olmak zorundadır.