2018 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 11

[Metin Can Aydemir]

$a>b>0$ sayıları verilsin. Bir köşesi $y=x$, $x>0$ ışını üzerinde, ikinci köşesi $Ox$ ekseni üzerinde ve üçüncü köşesi de, koordinatları $(a,b)$ olan $A$ noktasında bulunan üçgenler içinde çevre uzunluğu en küçük olanın çevre uzunluğu $6$ br ise, $a^2+b^2$ toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 12 \qquad\textbf{b)}\ 14  \qquad\textbf{c)}\ 16 \qquad\textbf{d)}\ 18 \qquad\textbf{e)}\ 24$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:  $\boxed{D}$

Öncelikle $OA$ doğrusuna $A$'da dik olan doğruyu çizelim. Bu doğru $y=x$ doğrusunu $P$, $x$ eksenini $R$'de kessin.$ABC$ üçgeninin çevresinin minimum olması için $ABC$'nin $OPR$'nin ortik üçgeni olması gerekir. Ortik üçgenin özelliğinden; $$\dfrac{h_{1}\cdot h_{2}\cdot h_{3}}{A(OPR)}=Ç(ABC)$$ sağlanmalı. $$\dfrac{\vert OA \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \vert PC \vert}{\vert OP \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \dfrac{1}{2}}=\dfrac{\vert OA \vert \cdot \vert BR \vert \cdot \vert PC \vert}{\vert PC \vert \cdot \sqrt{2} \cdot \vert BR \vert \cdot \dfrac{1}{2}}=\vert OA\vert \cdot \sqrt{2}=\sqrt{2a^2+2b^2}=Ç(ABC)=6 \Rightarrow a^2+b^2=18$$