Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 31

[geo]

Birbirinin aynı olan $30$ top, $A$ ve $B$ deki topların toplam sayısı, $C$ ve $D$ dekilerin toplam sayısından fazla olmak üzere, $A, B, C, D$ kutularına kaç değişik biçimde dağıtılabilir?

$
\textbf{a)}\ 2472
\qquad\textbf{b)}\ 2600
\qquad\textbf{c)}\ 2728
\qquad\textbf{d)}\ 2856
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

$A$ ve $B$ deki topların toplam sayısı, $C$ ve $D$ deki topların toplam sayısından fazla olduğu $S$ farklı dağılım olsun. Simetriden dolayı $C$ ve $D$ deki topların toplam sayısı, $A$ ve $B$ deki topların toplam sayısından fazla olduğu $S$ farklı dağılım olur. $A+B = C+D$ olacak şekilde $T$ farklı dağıtılım yapılıyorsa, hiçbir şart olmadan $30$ top bu dört kutuya $S+T+S$ farklı şekilde dağıtılabilir.\\
$A+B=15$ ve $C+D=15$ olacak şekilde, $$ T = {{2+15-1} \choose {15}}{{2+15-1} \choose {15}} = {{16} \choose {15}}{{16} \choose {15}} = 16\cdot 16 = 256 $$ farklı dağıtım yapılabilir.
$A+B+C+D=30$ olacak şekilde, $$2S+T = {{4+30-1} \choose {30}} = {{33} \choose {30}} = 5456 $$ farklı şekilde dağıtılacağı için $$2S + 256 = 5456 \Rightarrow S = \dfrac {5200}2 = 2600$$ elde edilir.

[geo]

$P(k)$ ile $A+B = k$ olacak şekilde olan dağılımları gösterelim. Açık şekilde $P(k)=k+1$ dir. Benzer şekilde  $Q(k)$ ile $C+D = k$ olacak şekilde olan dağılımları gösterelim.
$A$ ve $B$ deki topların toplam sayısı, $C$ ve $D$ dekilerin toplam sayısından fazla olmak üzere,
$$\displaystyle { \sum_{i=16}^{30} P(i)Q(30-i)} $$ farklı dağıtım yapılabilir.
$$S = \displaystyle { \sum_{i=16}^{30} P(i)Q(30-i)} =  \displaystyle { \sum_{i=16}^{30} (i+1)(31-i)} = 17\cdot 15 + 18 \cdot 14 + \dots + 31\cdot 1$$
İlk çözümdeki mantığı kullanarak,
$$T = \displaystyle{\sum_{i=1}^{31} i(32-i)} = 1\cdot 31 + 2\cdot 30 + \dots + 15\cdot 17 + 16\cdot 16 +  17\cdot 15 + \dots + 30\cdot 2+  31\cdot 1$$ elde edilir. Bu durumda $$S = \dfrac{T-256}2$$ olacaktır.
$$T = \displaystyle{\sum_{i=1}^{31} i(32-i) } = 32\displaystyle{\sum_{i=1}^{31} i} - \displaystyle{\sum_{i=1}^{31} i^2} = 32\cdot \dfrac {31 \cdot 32}2 - \dfrac{31 \cdot 32 \cdot 63}{6} = \dfrac{31\cdot 32}{2}\left ( 32 - \dfrac {63}3\right) = 31\cdot 16 \cdot 11$$
$$S = \dfrac{T-256}2 \Rightarrow S=\dfrac{31\cdot 16 \cdot 11 - 16\cdot 16}{2} = \dfrac{16(31\cdot 11 - 16)}2 = 8\cdot(325) = 2600 $$ elde edilir.

[geo]

Bir önceki çözümdeki
$$S = \displaystyle { \sum_{i=16}^{30} P(i)Q(30-i)} =  \displaystyle { \sum_{i=16}^{30} (i+1)(31-i)} = 17\cdot 15 + 18 \cdot 14 + \dots + 31\cdot 1$$ ifadesini daha sade bir şekilde hesaplayabiliriz.

$\displaystyle { \sum_{i=16}^{30} (i+1)(31-i)} = \displaystyle { \sum_{i=1}^{15} (16+i)(16-i)} = \displaystyle { \sum_{i=1}^{15} 16^2 - i^2} = 15\cdot 16^2 - \dfrac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} = 2600$