Balkan Matematik Olimpiyatı 2015 Soru 1

[Eray]

$a, b$ ve $c$ pozitif gerçel sayılar olsun. $$a^3b^6 + b^3c^6 + c^3a^6 + 3a^3b^3c^3 \ge abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) + a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$$ eşitsizliğini ispatlayınız.

[mehmetutku]

(Mehmet Utku Özbek)

Schur Eşitsizliği: $x,y,z$  negatif olmayan reel sayılar ve $n \gt 0$  olmak üzere,

                    $x^{n}(x-y)(x-z)+y^{n}(y-x)(y-z)+z^{n}(z-x)(z-y) \ge 0$    eşitsizliği sağlanır.  Eşitlik durumu  $x=y=z=0$  olduğunda mümkündür.

Özel  olarak  $n=1$  alınıp açılırsa   $x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)$    olur.

Şimdi sorudaki ifadede  $x=ab^2 \ , \ y=bc^2 \ , \ z=ca^2$   dönüşümü yapalım. O zaman Schur eşitsizliğinden;

$a^3b^6 + b^3c^6 + c^3a^6 + 3a^3b^3c^3=x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)=abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) + a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$   bulunur. İspat biter.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

(Mehmet Utku Özbek)

Schur Eşitsizliği: $x,y,z$  negatif olmayan reel sayılar ve $n \gt 0$  olmak üzere,

                    $x^{n}(x-y)(x-z)+y^{n}(y-x)(y-z)+z^{n}(z-x)(z-y) \ge 0$    eşitsizliği sağlanır.  Eşitlik durumu  $x=y=z=0$  olduğunda mümkündür.

Özel  olarak  $n=1$  alınıp açılırsa   $x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)$    olur.

Şimdi sorudaki ifadede  $x=ab^2 \ , \ y=bc^2 \ , \ z=ca^2$   dönüşümü yapalım. O zaman Schur eşitsizliğinden;

$a^3b^6 + b^3c^6 + c^3a^6 + 3a^3b^3c^3=x^3+y^3+z^3+3xyz \ge x^2(y+z)+y^2(x+z)+z^2(x+y)=abc(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3) + a^2b^2c^2(a^3+b^3+c^3)$   bulunur. İspat biter.

Schur Eşitsizliği'nde eşitlik ayrıca
 $$(x,y,z)=(a,a,0)$$
ve permütasyonları için de sağlanır.

Ayreten, orijinal soruda $x,y,z$ pozitif reeller yerine negatif olmayan reeller olsaydı eşitsizlik yine çalışırdı.