cos 2pi/n rasyonel

[geo]

Hangi $n$ pozitif tam sayıları için $\cos \dfrac {2\pi} n$ rasyoneldir?

[Lokman Gökçe]

Niven Teoremine göre $k$ ve $\cos (k \pi)$ rasyonel ise $\cos (k \pi) \in \{ 0 \mp 1 , \mp \dfrac{1}{2}\}$ dir.

Şimdi $n$ için birkaç değer verelim:

$n=1$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos 2\pi = 1$
$n=2$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos \pi = -1$
$n=3$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$
$n=4$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos \dfrac{\pi}{2} = 0$
$n=5$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos \dfrac{2\pi}{5}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$ fakat bu değer rasyonel değildir.
$n=6$ için $\cos \dfrac {2\pi} n = \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ olur.

$n>6$ için $ \dfrac{1}{2} < \cos \dfrac {2\pi} n < 1$ olup bu aralıkta $\{ 0 \mp 1 , \mp \dfrac{1}{2}\}$ sayılarından herhangi biri bulunmaz. Böylece aranan tüm değerler $n\in \{ 1,2,3,4, 6\}$ biçiminde bulunur.