Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 08

[geo]

$\quad$
$\begin{array}{rcl}
(x+y)^5 &=& z \\
(y+z)^5 &=& x \\
(z+x)^5 &=& y \end{array}$
 
sistemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ gerçel sayı sıralı üçlüsü vardır?


$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta}
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$x \geq y \geq z$ olsun.
$(x+y)^5 \geq (z+x)^5 \geq (y+z)^5$ olacaktır.
Sistemdeki eşitlikleri bu eşitsizlikte yerine yazarsak.
$$z\geq y \geq x$$ elde ederiz. Baştaki kabulümüzün tam tersi çıktı. Bu durumda $x=y=z$ dir. Bu eşitliği sistemde yerine yazarsak,
$$(2x)^5 = x$$ denklemini elde ederiz.
$$32x^5-x = 0 \Rightarrow x(32x^4 - 1)$$
denkleminin köklerinden biri $x=0$ dır. Diğerleri ise,
$$x^2 = \sqrt{\dfrac {1}{32}} \Rightarrow x = \pm \sqrt {\sqrt {\dfrac 1{32}}}$$ dir. Yani, sistemin çözüm kümesi
$$\{(0,0,0), (2^{-\frac 54},2^{-\frac 54},2^{-\frac 54}),(-2^{-\frac 54},-2^{-\frac 54},-2^{-\frac 54}) \}$$ dir.