Polinom Bölmesi - Siklotomik Polinom {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Soru (Lokman GÖKÇE): $P(x)$ polinomunun $x^{10} +x^5 + 1$ ve $x^5-1$ ile bölümünden kalanlar sırasıyla $ -x^5$ ve $2$  polinomlarıdır. $P(x)$'in $\Phi_{15}(x) = x^8 -x^7 + x^5 -x^4 +x^3 -x +1$ polinomu ile bölümünden kalan nedir?

($\Phi_{15}(x)$ polinomunun bir siklotomik polinom olduğuna dikkat ediniz.)

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{-x^5}$

Çözüm 1: $P(x)$ polinomunun $x^{15} - 1 = (x^{10} + x^5 + 1)(x^5 - 1)$ ile bölümünden kalanın $ax^{10} + b$ polinomu olduğunu tahmin edelim. Bunu sağlayan $a, b$ gerçel sayılarını araştıralım.

$P(x)=(x^{15} - 1)Q(x) + ax^{10} + b$ polinomunun $x^5 - 1$ ile bölümünden kalanı bulmak için $x^5 = 1$ yazılır. Buradan $a+b = 2$ elde edilir.

$P(x)=(x^{15} - 1)Q(x) + ax^{10} + b$ polinomunun $x^{10} + x^5 + 1$ ile bölümünden kalanı bulmak için $x^{10} = - x^5 - 1$ yazılır. Buradan $a( - x^5 - 1) + b = -x^5$ ve $-ax^5 - a + b = -x^5$ elde edilir. Polinom eşitliği ile $a=1$, $b=1$ bulunur. (Aynı zamanda bu değerler $a+b=2$ denklemi ile uyumludur.)

Böylece $P(x)=(x^{15} - 1)Q(x) + x^{10} + 1$ elde ederiz. $\Phi_{15}(x)$, $15$-inci siklotomik polinom olduğundan $\Phi_{15}(x)\mid x^{15} - 1$ dir. O halde $P(x)$'in $\Phi_{15}(x)$ ile bölümünden kalanı bulmak için $x^{10} + 1$ polinomunun $\Phi_{15}(x) = x^8 -x^7 + x^5 -x^4 +x^3 -x +1 $ bölümünden kalanını hesaplamak yeterlidir. Uzun bölme yapılırsa ya da  $x^{10} + 1$'de $ x^8 = x^7 - x^5 + x^4 - x^3 + x - 1$ yazılarak ilerlenirse kalan $-x^5$ bulunur.

[Lokman Gökçe]

Çözüm 2: Siklotomik polinomlarla ilgili aşağıdaki teoremi kullanalım.

Teorem: $n$-inci siklotomik polinom $\Phi_n$ ve $d<n$, $d\mid n$ herhangi bir pozitif bölen olmak üzere
$$ \Phi_n(x) \mid \dfrac{x^n - 1}{x^d - 1}$$
olur.

Bu teoreme göre $n=15$ sayısının $d=5$ pozitif böleni için $\Phi_{15}(x) \mid \dfrac{x^{15} - 1}{x^5 - 1}$ olur. Yani $\Phi_{15}(x) \mid x^{10} + x^5 + 1$'dir. Dolayısıyla $P(x)=(x^{10} + x^5 + 1)R(x) - x^5$ polinomunun da $8$-inci dereceden olan $\Phi_{15}(x)$ polinomu ile bölümünden kalan $-x^5$'tir.



Çözüm 3: $a, b, c$ negatif olmayan tam sayılar olmak üzere $x^{3a+2} + x^{3b+1}+x^{3c}$ polinomu $x^2 + x + 1$ ile tam bölünür. (İspatını Çarpanlarına Ayırma başlığında vermişim.) $a=1$, $b=3$, $c=0$ özel durumunda $x^2 + x + 1\mid x^{10} + x^5 + 1$ olduğunu anlarız. Uzun bölme yaparsak
$$ x^{10} + x^5 + 1 = (x^2 + x + 1)(x^8 -x^7 + x^5 -x^4 +x^3 -x +1) = (x^2 + x + 1)\Phi_{15}(x)$$
elde edilir. Böylece Çözüm 2'deki gibi  $P(x)=(x^{10} + x^5 + 1)R(x) - x^5$ polinomunun da $8$-inci dereceden olan $\Phi_{15}(x)$ polinomu ile bölümünden kalan $-x^5$ bulunur.