Toplamları Tamsayı Olan Rasyonel Sayılar

[Metin Can Aydemir]

$a,b$ ve $c$, $0$'dan farklı tamsayılar ve $\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}, \theta_{1},\theta_{2},\theta_{3} \in \mathbb{Z}^+$ olmak üzere, $\min{\{ \alpha_{1},\beta_{1},\theta_{1}\} }=\alpha_{1}$, $\min{\{ \alpha_{2},\beta_{2},\theta_{2}\} }=\beta_{2}$ ve $\min{\{ \alpha_{3},\beta_{3},\theta_{3}\} }=\theta_{3}$ olsun. $$\dfrac{b^{\alpha_{2}}c^{\alpha_{3}}}{a^{\alpha_{1}}}+\dfrac{a^{\beta_{1}}c^{\beta_{3}}}{b^{\beta_{2}}}+\dfrac{a^{\theta_{1}}b^{\theta_{2}}}{c^{\theta_{3}}} \in \mathbb{Z}\Rightarrow \dfrac{b^{\alpha_{2}}c^{\alpha_{3}}}{a^{\alpha_{1}}},\dfrac{a^{\beta_{1}}c^{\beta_{3}}}{b^{\beta_{2}}},\dfrac{a^{\theta_{1}}b^{\theta_{2}}}{c^{\theta_{3}}} \in \mathbb{Z}$$ olduğunu gösteriniz.

Not: Sorunun orijinal hali Avusturya Matematik Olimpiyatı 2016'da sorulmuştur. Buradaki soru benim oluşturduğum basit bir genelleştirmedir.

[Metin Can Aydemir]

Kökleri $\dfrac{b^{\alpha_{2}}c^{\alpha_{3}}}{a^{\alpha_{1}}},\dfrac{a^{\beta_{1}}c^{\beta_{3}}}{b^{\beta_{2}}},\dfrac{a^{\theta_{1}}b^{\theta_{2}}}{c^{\theta_{3}}}$ olan bir 3. dereceden denklem yazalım. Vieta teoreminden kökleri $x_1,x_2,x_3$ olan 3. dereceden denklem, $$t^3-(x_1+x_2+x_3)t^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)t-x_1x_2x_3=0$$ olur. Dolayısıyla elde edeceğimiz denklem $$t^3-\left (\dfrac{b^{\alpha_{2}}c^{\alpha_{3}}}{a^{\alpha_{1}}}+\dfrac{a^{\beta_{1}}c^{\beta_{3}}}{b^{\beta_{2}}}+\dfrac{a^{\theta_{1}}b^{\theta_{2}}}{c^{\theta_{3}}}\right )t^2+\left (a^{\beta_{1}-\alpha_{1}}b^{\alpha_{2}-\beta_{2}}c^{\alpha_{3}+\beta_{3}}+a^{\theta_{1}-\alpha_{1}}b^{\alpha_{2}+\theta_{2}}c^{\alpha_{3}-\theta_{3}}+a^{\beta_{1}+\theta_{1}}b^{\theta_{2}-\beta_{2}}c^{\beta_{3}-\theta_{3}}\right )t-a^{\beta_{1}+\theta_{1}-\alpha_{1}}b^{\alpha_{2}+\theta_{2}-\beta_{2}}c^{\alpha_{3}+\beta_{3}-\theta_{3}}=0$$ olur. $\min{\{ \alpha_{1},\beta_{1},\theta_{1}\} }=\alpha_{1}$, $\min{\{ \alpha_{2},\beta_{2},\theta_{2}\} }=\beta_{2}$ ve $\min{\{ \alpha_{3},\beta_{3},\theta_{3}\} }=\theta_{3}$ olduğundan elde ettiğimiz denklemin tüm katsayıları tamsayıdır.

Lemma: Eğer tamsayı katsayılı $a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0$ denkleminin $p,q\in \mathbb{Z}$ ve $(p,q)=1$ olmak üzere $\dfrac{p}{q}$ rasyonel kökü varsa $p|a_0$ ve $q|a_n$'dir.

İspat: $\dfrac{p}{q}$ denklemin kökü olduğundan $$a_n\left ( \dfrac{p}{q}\right )^n+\dots+a_1\left ( \dfrac{p}{q}\right )+a_0=0 \Rightarrow a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\dots+a_2p^{2}q^{n-2}+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0$$ olur. Denklemin sağ tarafı $p$ ve $q$'ya bölündüğünden sol tarafı da bölünmelidir. İlk terim hariç tüm terimlerde $q$ çarpanı ve son terim hariç tüm terimlerde $p$ çarpanı olduğundan $q|a_np^n$ ve $p|a_0q^n$ olur ve $p$ ile $q$ aralarında asal olduğundan $q|a_n$ ve $p|a_0$ olur.

Bu lemmadan da anlaşılabileceği gibi $a_n=1$ ise denklemin kökü rasyonel sayı ise aynı zamanda tamsayı olmalıdır. Dolayısıyla bizim oluşturduğumuz denklemin kökleri de tamsayı olmalıdır. Buradan $\dfrac{b^{\alpha_{2}}c^{\alpha_{3}}}{a^{\alpha_{1}}},\dfrac{a^{\beta_{1}}c^{\beta_{3}}}{b^{\beta_{2}}},\dfrac{a^{\theta_{1}}b^{\theta_{2}}}{c^{\theta_{3}}}$ sayıları tamsayı bulunur.