Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 08

[Lokman Gökçe]

Her $x$ reel sayısı için $\dfrac{x^2+ax+1}{x^2+4x+8}\lt 8$ eşitsizliği sağlanıyorsa, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

$\textbf{a)}\ a^2\gt 8 \qquad\textbf{b)}\ 0 \leq a \leq 75  \qquad\textbf{c)}\ |a|\lt 10 \qquad\textbf{d)}\ a=0 \qquad\textbf{e)}\ a\lt 74 $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

Öncelikle $x^2+4x+8=(x+2)^2+4\geq 0$ olacağından karşı tarafa atarsak eşitsizlik yönü değişmez. $$x^2+ax+1<8(x^2+4x+8)$$ olur. Bu eşitsizliği düzenleyelim. $$0<7x^2+(32-a)x+63$$ olur. Eğer bu ikinci dereceden denklemin kökü varsa $0$'a eşit olabileceğinden şartı bozar. Denklemin kökü yoksa kolları yukarı bakan bir parabol olduğundan her $x$ için pozitif olur. $$\Delta=(32-a)^2-4\cdot 7\cdot 63<0\Rightarrow (a+10)(a-74)<0$$ olur. Yani $a$ sayısı $(-10,74)$ aralığındadır. Bu şartı sağlayan her $a$ için sadece $a<74$ ifadesi doğru olduğundan cevap $E$ olacaktır.

Fakat bazı kaynaklarda $a<74$ ifadesi $(-\infty,74)$ olarak algılanacağı belirtilerek sorunun cevabının yanlış olduğunu belirtmişler, o zamanda bu sorunun TÜBİTAK tarafından iptal edilip edilmediğini bilmediğimden yukarıdaki çözümü bırakıyorum.

[Lokman Gökçe]

Lokman Gökçe'nin yorumu:

$(-10,74)$ aralığını kapsayan herhangi bir küme doğru cevap olarak sunulabilir. Örneğin $ a < 75 $ veya $|a|<100$ seçenekleri de birer doğru cevaptır. Soruda $a$ nın alabileceği tüm değerlerin kümesi ($a$ için en geniş aralık) sorulmadığı için illa seçeneklere $-10<a<74$ yazılmasına gerek yoktur. Özetle, soruyu iptal ettirecek bir gerekçe yoktu ve iptal edilmemiştir.