Tübitak Lise 1. Aşama 1994 Soru 03

[Lokman Gökçe]

Aşağıdakilerden hangisi $1994\cdot 1996 \cdot 1998 \cdot 2000 $ sayısından daha büyüktür?

$\textbf{a)}\ 1993^2 \cdot 2001^2 \qquad\textbf{b)}\ 1993 \cdot 1997^2 \cdot 1999 \qquad\textbf{c)}\ 1993\cdot 1995 \cdot 1997 \cdot 2001 \qquad\textbf{d)}\ 1993 \cdot 1997^2 \cdot 2001  \qquad\textbf{e)}\ 1995^2 \cdot 1999^2 $

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$x=1997$ diyelim. Ana ifade $A=(x-3)(x-1)(x+1)(x+3)$ olur.

$\text{a)}$ $1993^2\cdot 2001^2=(x-4)^2(x+4)^2=(x^2-16)^2$ olur. $(x^2-9)>(x^2-16)$ ve $(x^2-1)>(x^2-16)$ olduğundan $$A=(x^2-1)(x^2-9)> (x^2-16)^2$$ olur.

$\text{b)}$ $1993\cdot 1997^2\cdot 1999=x^2(x-4)(x+2)$ olur. $(x-3)(x-1)>x(x-4)$ ve $(x+3)(x+1)>x(x+2)$ olduğundan $$A>x^2(x-4)(x+2)$$ bulunur.

$\text{c)}$ $1993\cdot 1995\cdot 1997\cdot 2001=x(x-4)(x-2)(x+4)$ olur. $(x-3)(x+3)>(x+4)(x-4)$ ve $(x-1)(x+1)>x(x-2)$ olduğundan $$A>x(x-4)(x-2)(x+4)$$ bulunur.

$\text{d)}$ $1993\cdot 1997^2\cdot 2001=x^2(x-4)(x+4)$ olur. $(x-3)(x-1)>x(x-4)$ ve $(x+3)(x+1)>x(x+4)$ olduğundan $$A>x^2(x-4)(x+4)$$ bulunur.

$\text{e)}$ $1995^2\cdot 1999^2=(x-2)^2(x+2)^2$ olur. $(x-3)(x-1)<(x-2)^2$ ve $(x+3)(x+1)<(x+2)^2$ olduğundan $$A<(x-2)^2(x+2)^2$$ bulunur.

Yani $E$ daha büyüktür.