Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 22

[Eray]

Pozitif tam sayılardan oluşan bir $(a_n)_{n=1}^\infty$ dizisinin terimleri her $n\ge1$ için $a_{n+1}=a_n^3+1376$ eşitliğini sağlamaktadır. Buna göre bu dizinin terimleri arasında en fazla kaç tane tam kare olabilir?

$\textbf{a)}\ 1 \qquad\textbf{b)}\ 2 \qquad\textbf{c)}\ 3 \qquad\textbf{d)}\ \text{Sonsuz çoklukta} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[mehmetutku]

Yanıt: $\boxed{B}$

Tam küpler $\pmod 7$ de $0,1,6$ kalanlarını verebilir. $1376 \equiv 4 \pmod 7$ dir. O zaman $n \ge 2$ olmak üzere $a_{n} \equiv 3,4,5 \pmod 7$ dir. Tam kareler $\pmod 4$ te $0,1,2,4$ kalanlarını verdiğinden $a_{n} \equiv 4 \pmod 7$ olursa ancak tam kare olabilir. Farz edelim ki $k \ge 2$ olmak üzere bir $a_k$ için $a_k \equiv 4 \pmod 7$ olsun. O zaman $a_{k+1} \equiv 5 \pmod 7$ olur. $a_{k+2} \equiv 3 \pmod 7$ olur. Devam edersek $a_{k+3} \equiv 3 \pmod 7$ olduğu görülür. Yani bundan sonra bütün terimler $\pmod 7$ de $3$ kalanı verir. Demek ki bir $a_k \equiv 4 \pmod 7$ için $a_k$ dan sonraki terimlerin hiçbiri tam kare olamaz. Şimdi $a_k$ dan önceki terimlere bakalım. $a_{k-1} \equiv 0 \pmod 7$ olmalıdır. Ama $n \ge 2$ olmak üzere $a_{n} \equiv 3,4,5 \pmod 7$ olmak zorunda demiştik. O zaman $k-1 \lt 2$ olmalıdır. Yani tam kare olarak farz ettiğimiz $a_k$ terimi $a_2$ veya $a_1$ olabilir. Eğer $k=1$ ise dizide en fazla bir tane tam kare olabilir. Eğer $k=2$ ise dizide en fazla $2$ tane tam kare olabilir. Yani hem $a_1$ hem de $a_2$ tam kare olması koşuluyla. Dolayısıyla bu dizide en fazla $2$ tane tam kare bulunabilir. Örnek olarak $a_1=7^2$ ve $a_2=49^3+1376=343^2+4.343+4=345^2$ verebiliriz.

[Lokman Gökçe]

Ardışık iki tam kare terim örneğinin nasıl bulunduğunu açıklayalım. $a_n=y^2$ ve $a_{n+1}=x^2$ olsun. $x^2-y^6=1376$ dır. Çarpanlara ayırırsak

$$(x-y^3)(x+y^3)=2^5\cdot 43 $$

olur. Muhtemel durumlar incelenirse yalnızca $x-y^3=2$ ve $ x+y^3=688$ denklem sisteminden çözüm gelir ve $(x,y)=(345,7)$ bulunur.