Yanıt: $\boxed{D}$
$f(n) = (n+3)(n+7)(n+11)(n+15) + 257$ ve $g_k(n) \equiv f(n-9) - 257 \pmod k$ olarak tanımlayalım.
$g_{3}(n) \equiv (n^2 -1 )(n^2 - 0) \equiv 1$
$g_{5}(n) \equiv (n^2 -4 )(n^2-1) \equiv 3$
$g_{7}(n) \equiv (n^2 -4 )(n^2-1) \equiv 2$
$g_{11}(n) \equiv (n^2 -4 )(n^2-3) \equiv 7$
$g_{13}(n) \equiv (n^2 -4 )(n^2-10) \equiv 3$
denkliklerini sağlayan değerleri araştıracağız.
$g_k(n) \equiv 0$ nın köklerinin sağlamayacağı aşikar. Bu yüzden onları doğrudan eleyeceğiz. $n=0$ ın da kök olmadığı aşikar.
$g_3$ için karesel kalanları yazalım: $\{\not 0, \not 1\}$. Yani, $k=3$ için $f(n) \equiv 0 \pmod k$ olamaz.
$g_5$ için karesel kalanlar: $\{\not 0, \not 1, \not 4\}$. $k=5$ te kümede.
$g_7$ için karesel kalanlar: $\{\not 0, \not 1, \not 4, 2\}$.
$n^2 \equiv 2$ için $(2-4)(2-1) \not \equiv 2 \pmod 7$ olduğu için $k=7$ de kümede.
$g_{11}$ için karesel kalanlar: $\{\not 0, 1, \not 4, 9, 5, \not 3\}$.
$n^2 \equiv 1$ için $(1-4)(1-3) \equiv 6 \not \equiv 7 \pmod {11}$.
$n^2 \equiv 9$ için $(9-4)(9-3) \equiv 8 \not \equiv 7 \pmod {11}$.
$n^2 \equiv 5$ için $(5-4)(5-3) \equiv 2 \not \equiv 7 \pmod {11}$.
$k=11$ de kümede.
$g_{13}$ için karesel kalanlar: $\{\not 0, 1, \not 4, 9, 3, 12, \not 10\}$.
$n^2 \equiv 12$ için $(12-4)(12-10) \equiv 16 \equiv 3 \pmod {13}$ olduğu için $k=13$ kümede değil.
O halde, $3,5,7,11$ sayıları için söz konusu ifadenin hiçbir değeri bu sayılara tam bölünmez.
