Tübitak Lise 1. Aşama 2016 Soru 11

[mehmetutku]

$$\begin{array}{r}
(x+2y)(y+2z)(z+2x) = 1 \\
(2x+y)(2y+z)(2z+x) = 2 \\
(x+y)(y+z)(z+x) = 3 \end{array}$$
denklem sistemini sağlayan $x,y,z$ gerçel sayıları için $xyz$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?

$\textbf{a)}\ -\dfrac{1}{2} \qquad\textbf{b)}\ -\dfrac{5}{2}  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac{1}{4} \qquad\textbf{d)}\ \dfrac{5}{4} \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[mehmetutku]

Yanıt:$\boxed{B}$

İfadeleri açıp ilk ikisini toplayalım.

$\Rightarrow T=6x^2y+6xy^2+6x^2z+6xz^2+6y^2z+6yz^2+18xyz=3$

Üçüncü ifadeyi açarsak $x^2y+xy^2+x^2z+xz^2+y^2z+yz^2+2xyz=3$ olur. Üçüncü ifadeyi $6$ ile çarpıp $T$ den çıkaralım.

$\Rightarrow 6xyz=-15$

Yani $xyz=-\dfrac{5}{2}$ olabilir.