Tamkare

[mehmetutku]

$a,b,c$  pozitif tam sayılar olmak üzere   $a^2+b+c  ,   b^2+a+c  ,   c^2+a+b$    sayılarının hepsinin birden tam kare olamayacağını ispatlayınız.

[alpercay]

Varsayalım ki bu üç sayı aynı anda tam kare olsun. Bu durumda her bir sayı barındırdığı kareli teriminden büyüktür ama sırasıyla (a +1 )², (b + 1)² ve (c + 1)² sayılarından büyük eşittir. Bu üç eşitsizlik toplanırsa bir çelişkiye düşülür. Dolayısıyla varsayımımız yanlıştır. Yani
$a^2+b+c\ge(a+1)^2$ , $b^2+a+c\ge(b+1)^2$ ve $c^2+a+b\ge(c+1)^2$ eşitsizliklerinden elde edilen $$b+c\ge2a+1$$ $$a+c\ge2b+1$$ $$a+b\ge2c+1$$ eşitsizlikleri taraf tarafa toplanırsa $2(a+b+c)\gt2(a+b+c)+3$ çelişkisine ulaşılır.

[CİHAT]

(Cihad Gökalp)

Genelliği bozmadan $a\ge b\ge c$ olsun.

$a^2+2a\ge a^2+b+c> a^2$ dir.

$(a+1)^2>a^2+b+c>a^2$

Ancak ardışık iki tamkare arasında başka tamkare olamaz. Çelişki.