Lise 1. Aşama 2014/6 Benzeri

[geo]

Ondalık yazılımında tüm rakamları tek olan pozitif tam sayılar artan sırayla $$1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,31,\dots$$ biçiminde yazıldığında $2014.$ sayı nedir?

[Lokman Gökçe]

Bir basamaklı $5$ sayı, iki basamaklı $5^2$ sayı, üç basamaklı $5^3$ sayı, dört basamaklı $5^4$ sayı yazılabilir. Toplam $5+25+125+625=780$ eder. Geriye, $2014-780=1234$ sayı kalır. Bu $1234$ tane sayının her biri $5$ basamaklıdır ve rakamları $1,3,5,7,9$ dan oluşmaktadır. Yani $11111,11113,11115,\dots $ dizisinin $1234$ üncü terimini arıyoruz. $1,3,5,7,9$ rakamlarının yerine sırasıyla $0,1,2,3,4$ rakamlarını kullanırsak $00000,00001,00002, \dots $ dizisini elde ederiz. Bu dizinin $5$ tabanına göre $1233$ üncü pozitif terimi $1233=(14413)_5$ tir. Yaptığımız değişikliği tersine çevirirsek $0,1,2,3,4$ rakamlarının yerine $1,3,5,7,9$ yazmalıyız. Dolayısıyla aradığımız sayı $39937$ olur.