Tübitak Lise 1. Aşama 2006 Soru 30

[ERhan ERdoğan]

$0 \leq x < 13 , 0 \leq y < 13 , 0 \leq z < 13$ olmak üzere $$\begin{array}{lcl}
x-yz^2 &\equiv& 1 \pmod{13}\\
xz+y &\equiv& 4 \pmod{13}
\end{array}$$ denklik sistemini sağlayan kaç $(x,y,z)$ tam sayı üçlüsü vardır?

$
\textbf{a)}\ 10
\qquad\textbf{b)}\ 23
\qquad\textbf{c)}\ 36
\qquad\textbf{d)}\ 49
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap:$\boxed{B}$

İlk denklikten $x\equiv yz^2+1\pmod{13}$ bulunur. Bunu ikinci denklikte yazarsak $$y(z^3+1)\equiv 4-z\pmod{13}$$ olacaktır. Öncelikle bu denkliğin çözümü olan her $(y,z)$ çifti için tam olarak bir tane $x$ çözümü geleceğini görelim. Dolayısıyla bizim sadece ikinci denkliğin çözüm sayısını bulmamız gerekiyor. Burada ise eğer $z^3+1\not\equiv 0\pmod{13}$ ise her $z$ değeri için bir adet $y$ değeri elde edilecektir. Eğer $z^3+1\equiv 0\pmod{13}$ ama $4-z\not\equiv 0\pmod{13}$ ise çözüm gelmeyecek, eğer $z^3+1\equiv 4-z\equiv 0\pmod{13}$ ise her $y$ değeri çözüm olacaktır. $$z^3+1\equiv 0\pmod{13}\iff z\equiv 4,10,12\pmod{13}$$ olduğundan $z\equiv 10,12$ iken çözüm gelmez, $z\equiv 4$ iken $13$ çözüm gelir, geri kalan $10$ adet $z$ değeri için de birer tane çözüm gelir. Toplamda $10+13=23$ çözüm vardır.