Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 02

[ERhan ERdoğan]

$10  \cdot 3^{195}  \cdot 49^{49}$ sayısının dört tabanına göre yazımının son üç basamağı aşağıdakilerden hangisidir?

$
\textbf{a)}\ 112
\qquad\textbf{b)}\ 130
\qquad\textbf{c)}\ 132
\qquad\textbf{d)}\ 212
\qquad\textbf{e)}\ 232
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$\mod 64$ ten inceleme yapmalıyız. Euler'in $\phi$ fonksiyonundan, $\phi(64)=32$ dir. $(3,64)=(7,64)=1$ olup Euler teoremine göre $3^{32}\equiv 7^{32} \equiv 1 \pmod {64}$ olur.

$10\cdot 3^{195}\cdot 7^{98}\cdot \equiv 10\cdot \left(3^{32}\right)^6\cdot 3^{3}\cdot \left(7^{32}\right)^3\cdot 7^{2} \equiv 10\cdot 27 \cdot 49 \equiv 46 \pmod{64}$ olur. $46=(232)_4$ elde edilir.