Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 33

[geo]

Bir $ABC$ üçgeninde $|AC| = 1$, $|AB| = \sqrt 2$ dir. $AB$ doğrusuna göre $C$ ile farklı tarafta, $|MA| = |AB|$ ve $m(\widehat{MAB}) = 90^\circ$ olacak şekilde $M$ noktası ile $AC$ doğrusuna göre $B$ ile farklı tarafta, $|NA| = |AC|$ ve $m(\widehat{NAC}) = 90^\circ$ olacak şekilde bir $N$ noktası alınıyor. $MAN$ üçgeninin çevrel çember merkezi ile $A$ dan geçen doğru, $[BC]$ yi $F$ noktasında kesiyorsa, $\dfrac{|BF|}{|FC|}$ nedir?

$
\textbf{a)}\ 2\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ 2\sqrt 3
\qquad\textbf{c)}\ 2
\qquad\textbf{d)}\ 3
\qquad\textbf{e)}\ 3\sqrt 2
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{C}$

$(MAN)$ çemberinin $A$ dan geçen çapı $AA'$ olsun. $A'MAN$ dörtgeninde, $\angle A'MA = \angle A'NA = 90^\circ$ dir. Ayrıca, $\angle MA'A + \angle MA'A = \angle MAB + \angle BAF$ olduğu için $\angle MA'A = \angle BAF$ ve benzer şekilde, $\angle FAC = \angle AA'N$ dir. $F$ den, $AB$ ve $AC$ ye inilen dikmelerin ayakları sırasıyla $X$ ve $Y$ olsun. $AXFY \sim A'MAN$ olup, $MA/AN = XF/FY=\sqrt 2$ dir. $BF/FC = [ABF]/[AFC] = \dfrac{AB \cdot XF}{AC \cdot FY} = \sqrt 2 \cdot \sqrt 2 = 2$ dir.

[geo]

$(MAN)$ çemberinin merkezi $O$ olsun. $\angle MOA = 2x$ ve $\angle NOA = 2y$ olsun.
$\angle NAO = 90^\circ - y$, $\angle OAM = 90^\circ - x$, $\angle NMA = y$ ve $\angle MNA = x$ olacaktır. Bu durumda $\angle CAF = y$ ve $\angle FAB = x$ olur.
$BA$ bir kenarortay olacak şekilde $\triangle BCD$ yi oluşturalım. $\triangle ADB \cong \triangle ANM$ $(\text{KAK})$ olacaktır.
$A$ dan geçen ve $BD$ ye paralel olan doğru $BC$ yi $BC$ nin orta noktası $P$ de keser. $\angle BAP = y$, $\angle PAC = x$, dolayısıyla da $\triangle ABC$ de, $AP$ kenarortay; $AF$ de kenarortaysıdır. Bu durumda, $BF/FC = AB^2/AC^2 = 2$ olacaktır.

Ek olarak, $AP$ nin $MN$ ye dik olduğunu söyleyebiliriz.

[geo]

Çoktan seçmeli sınav mantığı ile, $\angle CAB = 90^\circ$ olsun. Soru metninde ve şıklarda böyle olmasına engel bir durum söz konusu değil.

$\angle ACB = \alpha$ dersek, $ACB \cong ANM$ olduğu için $\angle ANM = \alpha$ olur. $(MAN)$ çemberinin merkezi $O$ olsun. $\triangle MAN$ dik üçgen olduğu için $ON=OM=OA$, dolayısıyla $\angle MAO = \angle OMA = \alpha$ ve $\angle CAF = 90\circ^ - \alpha$. $\angle CAF + \angle ACF = 90^\circ$ olduğu için $\triangle ABC$ dik üçgeninde Öklit'ten $BF:FC = AB^2 : AC^2 = 2 : 1$ elde edilir.

[geo]

$(MAN)$ çemberinin merkezi $O$ olsun. $\angle MOA = 2x$ ve $\angle NOA = 2y$ olsun.
$\angle NAO = 90^\circ - y$, $\angle OAM = 90^\circ - x$, $\angle NMA = y$ ve $\angle MNA = x$ olacaktır. Bu durumda $\angle CAF = y$ ve $\angle FAB = x$ olur.

$B$ den geçen $AC$ ye paralel olan doğru ile $AF$ doğrusu $E$ de kesişsin.
Paralellikten $\angle CAF = \angle BEA = y$ ve $(AA)$ eşliğinden $\triangle ABE \sim \triangle NAM$ olacaktır.

$\dfrac {BE}{AB} = \dfrac {AM}{AN} \Rightarrow BE = 2$.

Paralellikten $\dfrac {BF}{FC} = \dfrac {BE}{AC} = 2$ elde edilir.