Tübitak Lise 1. Aşama 2001 Soru 11

[geo]

Kaç $n$ tam sayısı için, $$\begin{array}{rcl}
2x + 3y &=& 7 \\
5x + ny &=& n^2
\end{array}$$ denklem sistemini sağlayan en az bir $(x, y)$ tam sayı sıralı ikilisi vardır?

$
\textbf{a)}\ 0
\qquad\textbf{b)}\ 3
\qquad\textbf{c)}\ 4
\qquad\textbf{d)}\ 8
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$10x + 15y = 35$ ve $10x+2ny=2n^2$ yi ortak çözersek, $(2n-15)y = 2n^2-35$ elde ederiz. Buradan $$2y = \dfrac{4n^2-70}{2n-15} = \dfrac{(2n-15)^2 + 30(2n-15) + 155}{2n-15} = (2n-15) + 30 + \dfrac{155}{2n-15}$$ elde edilir. $2n-15 \mid 155$ olması için $2n-15 \in \{-155,-31,-5,-1,1,5,31,155\}$ olması gerekir. Tüm elemanlar tek sayı olduğu için, her eleman için tam olarak bir $n$ sayısı vardır. Yalnız, $2x+3y=7$ denkleminde $y$ çift olamaz. Bu durumu da kontrol etmeliyiz. Yani $4 \nmid (2n-15) + 30 + \dfrac {155}{2n-15}$, yani $4 \mid (2n-15) + \dfrac{155}{2n-15}$ olması gerekir. Bunu da her durum sağlar.