Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 11

[ERhan ERdoğan]

Her $n$ pozitif tam sayısı için $a_{n}\neq0$ ve $a_{n}a_{n+3}=a_{n+2}a_{n+5}$ koşullarını sağlayan bir $\left ( a_{n} \right )_{n=1}^{\infty } $ gerçel sayı dizisinde $a_{1}a_{2}+a_{3}a_{4}+a_{5}a_{6}=6$ ise, $a_{1}a_{2}+a_{3}a_{4}+ \cdots +a_{41}a_{42}$ toplamı kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 21
\qquad\textbf{b)}\ 42
\qquad\textbf{c)}\ 63
\qquad\textbf{d)}\ 882
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[t-temiz]

Deneme yanılma tarzı sayılabilecek bir çözüm şöyle olabilir:
$a_{2k}=2$ ve $a_{2k-1}=1$ olsun. O zaman soruda verilen iki koşul da sağlanır. İstenen toplam da $2+2+ \ldots+2$ olur. Burada $21$ tane $2$ var. Öyleyse cevap $21.2=42$ olur. Cevap $B$.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{B}$

$a_{n}a_{n+3}=a_{n+2}a_{n+5}$ ifadesinde $n$ yerine $n+1$ ve $n+2$ koyarak

$$a_{n}a_{n+3}=a_{n+2}a_{n+5}$$
$$a_{n+1}a_{n+4}=a_{n+3}a_{n+6}$$
$$a_{n+2}a_{n+5}=a_{n+4}a_{n+7}$$

olup bu üç eşitliği taraf tarafa çarparsak

$a_{n}a_{n+1}=a_{n+6}a_{n+7}$ olur. Dolayısıyla $a_{1}a_{2}+a_{3}a_{4}+a_{5}a_{6}=a_{7}a_{8}+a_{9}a_{10}+a_{11}a_{12}=\cdots = a_{37}a_{38}+a_{39}a_{40}+a_{41}a_{42} = 6$ dır. Buna göre

$a_{1}a_{2}+a_{3}a_{4}+ \cdots +a_{41}a_{42} = 6\cdot 7 =42$ dir.