Tübitak Lise 1. Aşama 2009 Soru 18

[ERhan ERdoğan]

$1\leq n \leq455$  ve $n^3 \equiv 1 \pmod {455}$ koşullarını sağlayan kaç $n$ tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 9
\qquad\textbf{b)}\ 6
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 1
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[ArtOfMathSolving]

Yanıt:$\boxed{A}$

$455=5.7.13$ olduğundan, Çinlilerin Kalan Teoremi gereği sırasıyla $\pmod {5,7,13}$ te inceleme yapacağız.

$\pmod{5}$ te inceleyelim.

$n^3\equiv 1 \pmod 5 \Rightarrow n\equiv 1 \pmod5$ çözümü elde edilir.

$\pmod{7}$ de inceleyelim.

$n^3\equiv 1\pmod{7} \Rightarrow n \equiv 1,2,4 \pmod7$ çözümleri elde edilir.

$\pmod{13}$ te inceleyelim.

$n^3\equiv 1\pmod{13} \Rightarrow n \equiv 1,3,9 \pmod{13}$ çözümleri elde edilir.

Toplam $1.3.3=9$ tane $n$ tamsayısı elde edilir.

Dikkat: Çözümleri bulurken, $n \equiv 1,2,3\dots k-1 \pmod{k}$ gibi değerler vererek tek tek sağlayıp sağlamadıklarına bakmamız gerekiyor.