Tübitak Lise 1. Aşama 2011 Soru 03

[ERhan ERdoğan]

$1+\sqrt{n^{2}-9n+20}\gt\sqrt{n^{2}-7n+12}$ eşitsizliğini sağlayan kaç $n$ pozitif tam sayısı vardır?

$
\textbf{a)}\ 1
\qquad\textbf{b)}\ 2
\qquad\textbf{c)}\ 3
\qquad\textbf{d)}\ 4
\qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{D}$

$n^2 - 9n + 20 = (n-4)(n-5)$ ve $n^2-7n+12=(n-3)(n-4)$.

$n\geq 5$ için, eşitsizliğin her iki tarafı da pozitif olduğu için, iki tarafın da karesini alırsak $$1 + n^2 - 9n + 20 + 2\sqrt{n^2-9n+20} > n^2 - 7n + 12$$ $$2\sqrt{n^2-9n+20} > 2n-9>0$$ $$4n^2 - 36 n + 80 > 4n^2 - 36n + 81$$ olduğu için $n\geq 5$ için eşitsizlik sağlanmaz.
$n=4$ için, $1 > 0$.

$n=3$ için, $1 + \sqrt 2 > 0$.

$n=2$ için, $1 + \sqrt 6 > \sqrt 2$

$n=1$ için, $1 + \sqrt {12} > \sqrt 6$