Resmi Çözüm: Bu şartları sağlayan pozitif tamsayılarına iyi sayı diyelim. Her $n$ iyi sayısının tüm katlarının iyi sayı olduğunu gösterelim. $m=nk$ olmak üzere, her $1 \leq i \leq m$ için $m\mid x_i$ olsun. $n\mid x_i$ ve $n$ bir iyi sayı olduğuna göre, her $0 \leq l \leq k-1$ indisi için $$\sum_{i=nl+1}^{n(l+1)} x_i^2=\sum_{i=nl+1}^{n(l+1)} y_i^2$$ olacak şekilde hiçbiri $n$ ile tam bölünmeyen $y_1,y_2,\dots,y_m$ sayıları bulunur. Buna göre, $$\sum_{i=1}^{nk} x_i^2=\sum_{i=1}^{nk} y_i^2$$ ve tüm $1 \leq i \leq m$ indisleri için $m=nk\nmid y_i$ olur. Şimdi tüm pozitif tek tam sayıların iyi sayı olduğunu gösterelim.
Lemma: $n$ bir pozitif tek tam sayı olmak üzere, $x_1, x_2,\dots , x_n$ tam sayılarından en az biri $n$ ile tam bölünmeyen sayı olsun. O zaman $$\sum_{i=1}^{n} (nx_i)^2=\sum_{i=1}^{n} y_i^2$$ olacak şekilde hiçbiri $n$ ile tam bölünmeyen $y_1, y_2, \dots ,y_n$ tam sayıları vardır.
Lemmanın İspatı: Genelliği bozmadan $n \nmid x_1$ kabul edelim. $X = 2\sum_{i=1}^{n}x_i$ olsun. $n\mid X$ ise $x_1$ yerine $-x_1$ yazarsak $n\nmid x_1$ ve $n$ tek olduğundan $n \nmid 4x_1$ olur. Sonuç olarak yine genelliği bozmadan $n\nmid X$ alabiliriz. Şimdi $$\sum_{i=1}^{n} (nx_i)^2=\sum_{i=1}^{n} (X-nx_i)^2$$ eşitliğinde her $1 \leq i \leq n$ için $y_i = X - nx_i$ alırsak lemmanın ispatı tamamlanmış olur.
$n$ bir pozitif tam sayı olmak üzere, bir $a$ sayısı her biri $n$ ile tam bölünen $n$ tam sayının karelerinin toplamına eşitse, $a=\sum_{i=1}^{n} \left (n^r x_i\right )^2$ ve her $1 \leq i \leq n$ için $n\nmid x_i$ olacak şekilde $x_1, x_2, \dots, x_n$ tam sayıları bulunur. Lemmayı $r$ kez kullanarak, $a=\sum_{i=1}^{n} y_i^2$ ve her $1 \leq i \leq n$ için $n\nmid y_i$ olacak şekilde $y_1, y_2, \dots, y_n$ tam sayıları elde edilir.
Şimdi $8$ sayısının iyi sayı olduğunu gösterelim. Bir $a$ sayısı her biri $8$ ile tam bölünen $8$ tam sayının karelerinin toplamına eşitse $64\mid a$ ve $a \geq 64$ olur. O zaman Lagrange’ ın $4$ kare teoremine göre, $x_1, x_2, x_3, x_4$ tam sayılar olmak üzere, $a = 1^2+4^2+4^2+4^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ olur. Bu durumda $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\equiv 7\pmod{8}$ ve $7$ sayısının (mod $8$) de sadece $1+1+1+4$ şeklinde gösterildiğine göre, tüm $1 \leq i \leq 4$ indisleri için $8\nmid x_i$ elde edilir.
$4$ sayısı iyi sayı değildir, çünkü $32 = 4^2+4^2+0^2+0^2$ sayısı hiçbiri $4$ ile bölünmeyen $4$ sayının karesinin toplamı şeklinde gösterilemez. İyi sayının tüm katları da iyi sayı olduğuna göre, $1$ ve $2$ sayıları da iyi sayı değildir. Dolayısıyla şartı sağlayan sayılar, $1,2,4$ haricindeki tüm pozitif tam sayılardır.
.
