Tübitak Lise Takım Seçme 2001 Soru 2

[Lokman Gökçe]

$O$ merkezli birim çemberin $AB$ çapına, $|OT|>1$ olacak şekilde seçilen bir $T$ noktasında teğet olan bir çember, birim çemberi $C$ ve $D$ ile gösterilen farklı iki noktada kesiyor. $O$, $D$ ve $C$ noktalarından geçen çemberin $AB$ doğrusunu $O$ dışında kestiği nokta $P$ olmak üzere, $$|PA|\cdot |PB| = \dfrac {|PT|^2}{|OT|^2}$$ olduğunu gösteriniz.

[geo]

$(CDT)$ çemberinin merkezi $Q$ olsun. $OQ$ doğrusu $(OCD)$ çemberini $R$ de kessin. $OR$, $(OCD)$ çemberinin çapıdır. Bu durumda $RP\perp AB$ dir.
$O(0,0)$, $A(1,0)$ ve $Q(a,r)$ olsun.

$(O, 1) : x^2+ y^2 = 1$ ve $(Q,r) : (x-a)^2 + (y-r)^2 = r^2 $ olacaktır.

$C(x_1, y_1)$ noktası $x_1^2 + y_1^2 = 1$ ve $(x_1 - a)^2 + (y_1-r)^2 = r^2$ denklemlerini sağlar.

$x_1^2 + a^2 - 2ax_1 + y_1^2 + r^2 - 2y_1r = r^2 \Rightarrow a^2 + 1 = 2ax_1 + 2ry_1.$

$OC \perp RC$ olduğu için $RC$ nin eğimi $m = -\dfrac {x_1}{y_1}$ ve $RC$ doğrusunun denklemi $y = -\dfrac {x_1}{y_1}x + k$ olur.

$C(x_1,y_1)$ noktasını denklemde yerine yazarsak; $k = y_1  +\dfrac {x_1}{y_1}\cdot x_1 = \dfrac{x_1 ^2 + y_1^2}{y_1} = \dfrac 1{y_1}$.

Öyleyse $RC : y =  -\dfrac {x_1}{y_1}x + \dfrac {1}{y_1}$.

$OQ: y = \dfrac ra \cdot x$

$OQ \cap RC = \{R\} \Rightarrow \dfrac {1}{y_1} = x\left( \dfrac ra + \dfrac {x_1}{y_1} \right)$

$\Rightarrow a = (ry_1 + ax_1)x \Rightarrow \dfrac {2a}{a^2 + 1} = x$.

Bulduğumuz $x$ değeri $R$ noktasının apsisi, yani $OP = \dfrac {2a}{a^2+1}$.

$PA \cdot PB = \left (1 -  \dfrac {2a}{a^2+1}\right) \left (  1 + \dfrac {2a}{a^2+1} \right) = \dfrac {(a-1)^2(a+1)^2}{(a^2+1)^2} $

Diğer taraftan $\dfrac {PT}{OT} = \dfrac {a - \dfrac {2a}{a^2+1}}{a} = 1 -  \dfrac {2}{a^2+1} = \dfrac {a^2-1}{a^2+1} = \dfrac {(a-1)(a+1)}{a^2+1}$ $\blacksquare$

[geo]

$CD$ ile $AB$ doğruları $S$ de kesişsin.
$S$ noktasının çemberlere göre kuvvetini yazarsak $$ST^2 = SC\cdot SD = SP\cdot SO = SA\cdot SB \tag{1}$$ elde ederiz.
Noktaların $AB$ doğrusu üzerindeki dizilişini $B, O, P, A, S, T$ şeklinde kabul edip $BO=OA=r=1$, $OP=x$, $ST=y$ ve $OT=d$ diyelim.
$SP=d-y-x$, $SO=d-y$, $SA=d-y-r$, $SB=d-y+r$ olacaktır. $(1)$ de yerine yazarsak
$$y^2 = (d-y-x)(d-y) = (d-y-r)(d-y+r) \tag{2}$$ elde ederiz.
Biraz düzenlemeyle $y^2=(d-y)^2-x(d-y)=(d-y)^2-r^2$ elde ederiz.
Buradan $x=\dfrac{r^2}{d-y}$ ve $y=\dfrac{d^2-r^2}{2d}$ elde edilir. $y$ yi yok edersek $x=\dfrac{2dr^2}{d^2+r^2}$ elde ederiz.
Bizden istenen $PA\cdot PB = \dfrac{PT^2}{OT^2}$ olduğunu göstermemiz. Aslında bizden $\dfrac{PA\cdot PB }{r^2}= \dfrac{PT^2}{OT^2}$ olduğunu göstermemiz isteniyor.
Tabii şu aşamada bu bir iddia.
$PA\cdot PB = r^2-OP^2 =r^2-x^2$ dir. $PT=d-x$ olduğu için
$\dfrac{r^2-x^2}{r^2} \stackrel{?}{=} \dfrac{(d-x)^2}{d^2}$ eşitliğini göstereceğiz.

$\dfrac{r^2-x^2}{r^2}=\left (1-\dfrac xr \right )\left (1+\dfrac xr \right )$

$\dfrac{(d-x)^2}{d^2}=\left ( 1- \dfrac xd \right )^2$

$\dfrac{x}{r} = \dfrac{2dr}{d^2+r^2}$ ve $\dfrac{x}{d} = \dfrac{2r^2}{d^2+r^2}$ değerlerini yerine yazarsak

$\dfrac{r^2-x^2}{r^2}=\left (1-\dfrac {2dr}{d^2+r^2} \right )\left (1+\dfrac {2dr}{d^2+r^2}  \right ) = \dfrac{(d-r)^2(d+r)^2}{(d^2+r^2)^2}= \left ( \dfrac{d^2-r^2}{d^2+r^2} \right )^2$

$\dfrac{(d-x)^2}{d^2}=\left ( 1- \dfrac {2r^2}{d^2+r^2} \right )^2 = \left ( \dfrac{d^2-r^2}{d^2+r^2} \right )^2$ elde ederiz. Bu da iddiamızın doğru olduğu anlamına gelir.

[geo]

$CD$ ile $AB$ doğruları $S$ noktasında kesişsin. $ST^2 = SD \cdot SC$.
$S$ den $AB$ çaplı çembere çizilen teğet çembere $K$ da dokunsun. (Çizim kolaylığı açısından $K$ ile $C$ noktaları $AB$ doğrusunun farklı taraflarında olsun.) $SK^2 = SD \cdot SC$.

$S$ noktasının $(O, C, D, P)$ çemberine göre kuvvettinden $SP \cdot SO = SD \cdot SC = SK^2$ olduğu ve $\angle OKS = 90^\circ$ olduğu için $KP \perp OS$ dir.
$TK$ doğrusu ile $AB$ çaplı çember ikinci kez $L$ noktasında kesişsin.
$SK = ST$ olduğu için $\angle STK = \angle SKT$.
$\angle OLK = \angle OKL = 180^\circ - (90^\circ + \angle SKT) = 90^\circ - \angle SKT$ olduğu için $LO \perp OT$.
Bu durumda $PK \parallel OL$ olur. Benzerlikten $\dfrac {PK}{OL} = \dfrac {PT}{OT}$ olacaktır.
$AB$ çaplı çemberde kuvvetten $PK^2 = PA\cdot PB$ olduğu için $\dfrac {PA \cdot PB}{OL^2} = \dfrac {PT^2}{OT^2}$ olacaktır.
$OL=1$ olduğu için ispat biter.