Tübitak Ortaokul 2. Aşama 1999 Soru 3

[Lokman Gökçe]

$d(n)$ ile $n$ tam sayısını bölen en büyük tek tam sayıyı gösterelim. $d(1)+d(2)+d(3)+\cdots +d(2^{99})$ toplamını hesaplayınız.



Not: 1999 yılına ait 2. aşama (eski 2. kısım) problemleri resmi internet sitesinde bulunmadığı için, Mustafa Töngemen'in Ulusal Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri (2007) kitabından alınarak eklenmiştir.

[ygzgndgn]

Soruda verilen ifadeye göre $n=2^m\cdot k$ ve $k$ tek sayı ise $d(n)=k=\frac{n}{2^m}$ olur. O halde sayıları içerisinde kaç tane $2$ çarpanı bulunduğuna göre sınıflandırarak toplamı hesaplayabiliriz. $2^m||n$ sınıfını ele alalım. $k$ tek sayı olmak üzere $2^m\cdot k$ formatında olan tüm sayılar bu sınıfa dahildir. Öte yandan $2^{99}\geq n=2^m\cdot k\Rightarrow 2^{99-m}\geq k$ olmak zorundadır çünkü sınıftaki tüm sayılar toplanan sayılar arasında olmalıdır. Bu bilgilerden yararlanılırsa toplam
$$[d(1)+d(3)+\dots+d(2^{99}-1)]+[d(2)+d(6)+\dots+d(2^{99}-2)]+\dots+[d(2^{97})+d(2^{97}\cdot 3)]+[d(2^{98})]+d(2^{99})$$
halini alır. Verilen işlevin özelliği kullanılarak buradan
$$(1+3+\dots+2^{99}-1)+(1+3+\dots+2^{98}-1)+\dots+(1+3)+1+1$$
elde edilir. $1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$ olduğu kullanılırsa
$$(2^{98})^2+(2^{97})^2+\dots+(2^1)^2+1+1=1+\sum_{k=0}^{98} 4^n=\boxed{\frac{4^{99}+2}{3}}$$ bulunur. Aranan değer budur. $\blacksquare$