Kenarortaylar Üzerine

[alpercay]

Teorem.Üçgenin kenarortayları ile daima bir üçgen oluşturulabileceğini ve bu üçgenin alanının başlangıçtaki üçgenin alanının 3 / 4 'ü olduğunu kanıtlayınız.

[geo]

ABC üçgeninde V_a, V_b, V_c a, b, c kenarlarının orta noktaları ve G de üçgenin ağırlık merkezi olsun.
C'den BG'ye paralel,
B'den CG'ye paralel çizelim.
Bu iki doğru L'de kesişsin.
BGCL bir paralelkenar ve V_a, BC'nin orta noktası olduğu için A,G,V_a, L noktaları doğrusaldır.
GV_a=V_aL olduğu için GL=AG=2(AV_a)/3 tür.
GC = 2(CV_c)/3 ve LC=BG=2(BV_b)/3 olduğu için CGL üçgeninde
kenarlar arasındaki oran CG:GL:LC = V_c:V_a:V_b dır. Bu durumda üçgenin kenarortayları bir üçgen belirtir.
Üçgenin kenarortaylarının oluşturduğu üçgene XYZ dersek. CGL üçgeni ile XYZ arasındaki benzerlik oranı, 2/3 olduğu için alanları oranı 4/9 dur.
Aynı zamanda  [ABC]/3 = [BGC] = [CGL] = 4[XYZ]/9 olduğu için 3[ABC]/4 = [XYZ] dir.

[geo]

ABC üçgeninde Va, Vb, Vc; a, b, c kenarlarının orta noktaları ve G de üçgenin ağırlık merkezi olsun.
C'den AB'ye çizilen paralel ile A'dan CV_c'ye çizilen paralel L'de kesişsin.
ALCV_c paralelkenarında V_b köşegenlerden birinin orta noktası olduğuna göre diğerinin de orta noktasıdır. Yani V_c, V_b, L noktaları doğrusal ve V_cV_b=V_bL dir.
V_cV_b // BC ve V_cV_b=BC/2 olduğu için
V_bL = V_cV_b = BV_a dır. LV_b // BV_a ve V_bL = BV_a olduğu için de BV_aLV_b bir paralelkenar ve V_aL = BV_b dir. Son durumda AV_aL üçgenin kenarları, ABC üçgeninin kenarortaylarına eşittir.
LV_b doğrusu ile AV_a doğrusu M de kesişsin.
Hem  V_cV_b // BC  hem de AV_b = V_bC olduğu için AM=MV_a, yani LM, AV_aL üçgeninin bir kenarortayıdır. V_cM = MV_b = LV_b/2 olduğu için de LM kenarortayı üzerindeki 2:1 oranlı V_b noktası ALV_a üçgeninin ağırlık merkezidir.
[AV_cV_b] = [ABC]/4
[AV_bL] = [ALV_a]/3 ve
[AV_cV_b]=[AV_bL]  olduğu için
[ABC]/4 = [ALV_a]/3 yani [ALV_a]=3[ABC]/4 tür.

[alpercay]

...

[geo]

İkinci yaptığım çözümden, 1. Aşama ayarında şöyle bir soru türetebiliriz.

AB=7, BC=5, AC=8 olan bir ABC üçgeninin ağırlık merkezi G ve [AC] kenarının orta noktası M'dir. B'den AG'ye çizilen paralel ile A'dan BC'ye çizilen paralel K'de kesiştiğine göre, BKM üçgeninin alanı nedir?

[alpercay]

Bosbeles Hocamın bahsettiği ispatındaki adımlar takip edilirse alanı istenen üçgenin ana üçgeninin kenarortaylarından oluştuğu görülebilir.ABC üçgeninin alanının 3 / 4 'ü  bu üçgenin alanını verecektir.ABC üçgeninde  < C = 60^o olduğunu biliyorsak  ABC üçgeninin alanını Heron Formülü kullanmadan sinüslü alan formülünden bulabiliriz.

[matsever44]

ABC Üçgensel bölgesinin kenarortayları Va,Vb,Vc olsun.V=(Va+Vb+Vc)/2 olsun.Kenarortayların oluşturduğu üçgenin alanı
4/3.karekök V.(V-Va).(V-Vb).(V-Vc) olur.ispatını da göndereceğim bir ara,dosyayı bulamadım şimdi:))

[alpercay]

4/3 carpani olmayacak sanirim.Verdiginiz esitlik iyi bilinen Heron Formulu ve kenarortay üçgeni ile ana üçgen arasındaki alan oranı bağıntısı yukarda kanıtlandı.Eğer vereceğiniz kanıt yukardakilerden farklı ise bize katkısı daha çok olacaktır.Teşekkürler.

[matsever44]

yanlış yazmışım kenarortayların oluşturdğu üçgenin alanaı değil,ABC üçgeninin alanı demek istedim.

[matsever44]

formül ektedir

edit: resim boyutlarına dikkat ediniz. iyi çalışmalar... (ERhan ERdoğan)

[matsever44]

ekteki dosya yanılmıyorsam uğur cesura ait olabilir